Để chứng minh bài toán trên, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một.

### Phần a: Chứng minh \(AM \parallel CN\)

1. Gọi \(ABCD\) là hình bình hành với \(AB > CD\).
2. Tia phân giác góc \(A\) cắt \(DC\) tại \(M\).
3. Tia phân giác góc \(C\) cắt \(AB\) tại \(N\).

Vì \(ABCD\) là hình bình hành, ta có:

- \(AD \parallel BC\)
- \(AB \parallel CD\)

Góc \(A\) và góc \(D\) là các góc đối đỉnh, do đó:
\[
\angle AMB = \angle DMC
\]

Tương tự, vì \(C\) và \(A\) là các góc đối diện trong tam giác \(ANM\), ta có:
\[
\angle ANC = \angle CBA
\]

Do tia phân giác chia các góc ra thành hai góc bằng nhau, ta có:

\[
\frac{AM}{MD} = \frac{AB}{AD} \quad (1)
\]
\[
\frac{CN}{NA} = \frac{CD}{BC} \quad (2)
\]

Vì \(AB \parallel CD\) và \(AD \parallel BC\), ta có:
\[
\frac{AB}{AD} = \frac{CD}{BC}
\]
Kad từ (1) và (2), ta suy ra:
\[
\frac{AM}{MD} = \frac{CN}{NA}
\]

Theo định lý đường thẳng chéo, từ đó suy ra \(AM \parallel CN\).

### Phần b: Tứ giác \(AMCN\) là hình gì?

Tứ giác \(AMCN\) với \(AM \parallel CN\) và \(AN \parallel CM\) (vì \(N\) và \(M\) là giao điểm của các tia phân giác), nên:
1. Tứ giác \(AMCN\) có hai cặp cạnh đối diện song song.
2. Do đó, \(AMCN\) là hình bình hành.

### Phần c: Chứng minh ba đường thẳng \(BD\), \(AC\) và \(MN\) cùng đi qua một điểm

Để chứng minh rằng các đường thẳng \(BD\), \(AC\), và \(MN\) cùng đi qua một điểm, ta sẽ sử dụng định lý Menelaus cho tam giác.

1. Gọi \(O\) là giao điểm của \(BD\) và \(AC\).
2. Xét tam giác \(AMN\) với \(M\) thuộc cạnh \(AC\) và \(N\) thuộc cạnh \(AB\).

Để áp dụng định lý Menelaus cho tam giác \(ACN\) với đường thẳng \(BD\):
- Gọi điểm \(X\) là giao điểm của \(AM\) và \(BD\).
- Gọi giao điểm của \(CN\) và \(BD\) là \(Y\).

Ta có:
- Đoạn thẳng \(XM\) cắt \(AC\) và \(AN\).
- Đoạn thẳng \(YN\) cắt \(CB\) và \(BD\).

Áp dụng định lý Menelaus, ta có:
\[
\frac{AX}{XM} \cdot \frac{MN}{AN} \cdot \frac{NB}{CY} = 1
\]
Điều này chứng minh rằng ba đường thẳng \(BD\), \(AC\), và \(MN\) đồng quy tại một điểm.

Kết luận:
- \(AM \parallel CN\).
- Tứ giác \(AMCN\) là hình bình hành.
- Ba đường thẳng \(BD\), \(AC\) và \(MN\) cùng đi qua một điểm.