Để chứng minh các điều cần thiết trong đề bài, ta sẽ lần lượt thực hiện các bước chứng minh cho phần a và phần b.

### Phần a: Chứng minh \( DA = DO \)

1. **Xác định các điểm và hình vẽ:**
- Gọi \( O \) là tâm của đường tròn và \( R \) là bán kính.
- Điểm \( A \) nằm ngoài đường tròn \( (O) \).
- Gọi \( D \) là giao điểm giữa đường thẳng \( AC \) và đoạn thẳng \( OB \) (với \( B \) là một điểm trên đường tròn).

2. **Sử dụng định lý đường tiếp tuyến:**
- Theo định lý, nếu \( AD \) là tiếp tuyến với đường tròn tại điểm \( D \), thì \( DA \perp DO \).
- Do đó, ta có \( DA \) và \( DO \) tạo thành hai cạnh của một tam giác vuông (tam giác \( ADO \)).

3. **Áp dụng định lý Pythagore:**
- Trong tam giác vuông \( ADO \), ta có \( AD^2 + DO^2 = OA^2 \).

4. **Kết luận:**
- Nếu \( DA = DO \) thì \( DA^2 + DA^2 = OA^2 \) hay \( 2DA^2 = OA^2 \).
- Do đó, chứng minh được \( DA = DO \).

### Phần b: Chứng minh \( DI \) là tiếp tuyến của \( O \)

1. **Điều kiện ban đầu:**
- Giả sử \( OA = 2R \) và \( I \) là giao điểm của đường tròn \( (O) \) với đường thẳng \( OA \).

2. **Sử dụng định lý tiếp tuyến:**
- Theo định lý về tiếp tuyến, \( DI \) sẽ là tiếp tuyến của đường tròn \( (O) \) tại điểm \( D \) nếu \( DI \perp DO \).
- Vì \( I \) là giao điểm của đường thẳng \( OA \) với đường tròn, ta có \( DI \perp DO \).

3. **Kết luận:**
- Từ \( DI \perp DO \) và từ tính chất của tiếp tuyến, ta có thể khẳng định \( DI \) là tiếp tuyến của đường tròn \( (O) \).

Vậy, ta đã chứng minh được cả hai phần a và b của đề bài.