Để giải bài toán này, trước tiên ta cần xác định các thông số của tam giác vuông ABC.

### a. Tính độ dài BC, DB, DC

1. **Tính độ dài BC**:
Tam giác ABC vuông tại A, AB = 3 cm, AC = 4 cm. Ta có thể sử dụng định lý Pythagore để tính độ dài BC.
\[
BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \text{ cm}
\]

2. **Tính độ dài DB và DC**:
Theo định lý phân giác, ta có:
\[
\frac{DB}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{3}{4}
\]

Gọi DB = 3x và DC = 4x, khi đó:
\[
DB + DC = BC \Rightarrow 3x + 4x = 5 \Rightarrow 7x = 5 \Rightarrow x = \frac{5}{7}
\]

Vậy:
\[
DB = 3x = 3 \cdot \frac{5}{7} = \frac{15}{7} \text{ cm}
\]
\[
DC = 4x = 4 \cdot \frac{5}{7} = \frac{20}{7} \text{ cm}
\]

### b. Vẽ đường cao AH và tính AD, HD

1. **Vẽ đường cao AH**:
Đường cao AH từ A hạ xuống BC, do AB và AC vuông góc với nhau, ta có thể tính độ dài AH bằng công thức cho diện tích tam giác.
Diện tích của tam giác ABC:
\[
S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6 \text{ cm}^2
\]

Diện tích cũng có thể tính bằng công thức:
\[
S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH \Rightarrow 6 = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot AH \Rightarrow AH = \frac{12}{5} = 2.4 \text{ cm}
\]

2. **Tính độ dài AD và HD**:
Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông ADH:
\[
AD = \frac{AB \cdot AC}{BC} = \frac{3 \cdot 4}{5} = \frac{12}{5} \text{ cm}
\]
Để tính HD:
\[
HD = AH - AD = 2.4 - \frac{12}{5} = 0 \text{ cm}
\]

### Kết luận
- Độ dài BC = 5 cm, DB = \(\frac{15}{7}\) cm, DC = \(\frac{20}{7}\) cm.
- Độ dài AH = 2.4 cm, AD = \(\frac{12}{5}\) cm, HD = 0 cm.