Tìm dư trong phép chia f(x) = x^100 + x^90 + ... + x^10 + 1 chia cho g(x) = x^2 − x + 1

Để tìm dư trong phép chia \( f(x) = x^{100} + x^{90} + \ldots + x^{10} + 1 \) cho \( g(x) = x^2 - x + 1 \), trước tiên, chúng ta cần tìm ra bậc của phần dư. Phần dư sẽ có dạng \( r(x) = ax + b \), với \( a \) và \( b \) là các hằng số.

Để tìm được \( r(x) \), ta có thể sử dụng định lý về phép chia đa thức: \( f(x) = g(x) \cdot q(x) + r(x) \), trong đó \( r(x) \) có bậc nhỏ hơn bậc của \( g(x) \), tức là \( r(x) = ax + b \).

### Bước 1: Tính các giá trị của \( f(\omega) \)

Để tính \( f(x) \) tại các nghiệm của \( g(x) = 0 \), ta giải phương trình \( x^2 - x + 1 = 0 \). Các nghiệm của phương trình này là các số phức:
\[
\omega = \frac{1 \pm \sqrt{-3}}{2} = \frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{3}}{2}i
\]
Gọi \( \omega_1 = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i \) và \( \omega_2 = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i \).

### Bước 2: Tính \( f(\omega_1) \) và \( f(\omega_2) \)

Ta cần tính \( f(\omega_1) \) và \( f(\omega_2) \):
- Nhận thấy rằng \( \omega_1^3 = 1 \), do đó các lũy thừa của \( \omega_1 \) sẽ tuần hoàn với chu kỳ 3.
- Tính các lũy thừa của \( \omega_1 \):
- \( \omega_1^0 = 1 \)
- \( \omega_1^1 = \omega_1 \)
- \( \omega_1^2 = \omega_1^2 \)
- \( \omega_1^3 = 1 \)
- \( \omega_1^4 = \omega_1 \)
- \( \omega_1^5 = \omega_1^2 \)
- và cứ như thế...

### Bước 3: Tính tổng lũy thừa

Chia bậc của từng hạng tử trong \( f(x) \) cho 3:
- Các hệ số là 1 cho các bậc mà số mũ chia hết cho 3:
- \( x^{100} \equiv x^{1} (\text{mod } 3) \)
- \( x^{90} \equiv x^{0} (\text{mod } 3) \)
- \( x^{80} \equiv x^{2} (\text{mod } 3) \)
- (tiếp tục như vậy...)

10 hạng tử chia thành ba nhóm:
- Nhóm \( (1, 0, 2, 1, 0, 2, \ldots) \) và mỗi nhóm có 34, 33, 33 tương ứng, cuối cùng còn 1.

Khi tính tổng \( f(\omega_1) \) sẽ bằng tổng của 34 lần 1 và 33 lần 0 và 33 lần 2.

### Bước 4: Thiết lập phương trình

Khi có \( f(\omega_1) \) và \( f(\omega_2) \), ta sẽ có hệ phương trình:
- \( f(\omega_1) = a\omega_1 + b \)
- \( f(\omega_2) = a\omega_2 + b \)

### Bước 5: Giải hệ phương trình

Giải hệ phương trình để tìm \( a \) và \( b \), từ đó ta sẽ tìm được phần dư \( r(x) = ax + b \).

Kết quả cuối cùng cho bạn sẽ là phần dư trong phép chia \( f(x) \) cho \( g(x) \) là \( r(x) \).