Để hàm số \( y = \frac{x}{x^2 - 2mx + m} \) xác định trên \(\mathbb{R}\), mẫu số phải khác 0 với mọi giá trị của \(x\). Do đó, chúng ta cần xét điều kiện cho biểu thức ở mẫu số:

\[
x^2 - 2mx + m \neq 0
\]

Để hàm số không có nghiệm, hệ số b và c của phương trình bậc hai này phải thỏa mãn điều kiện rằng delta (Δ) nhỏ hơn 0:

\[
\Delta = b^2 - 4ac = (-2m)^2 - 4 \cdot 1 \cdot m = 4m^2 - 4m
\]

Ta cần có:

\[
4m^2 - 4m < 0
\]

Rút gọn bất phương trình:

\[
4m(m - 1) < 0
\]

Giải bất phương trình \(m(m - 1) < 0\):

- Nghiệm của phương trình là \(m = 0\) và \(m = 1\).
- Sử dụng bảng dấu, ta thấy bất phương trình này đúng khi \(0 < m < 1\).

Vậy, tham số \(m\) để hàm số xác định trên \(\mathbb{R}\) là:

\[
\boxed{(0, 1)}
\]