Để giải bài toán này, ta có các phương trình sau:

1. \( \frac{x}{2} = \frac{y}{3} \)
2. \( \frac{x}{4} = \frac{z}{5} \)
3. \( x + y + z = 60 \)

Bắt đầu từ phương trình (1), ta có:

\[
y = \frac{3x}{2} \quad (1)
\]

Từ phương trình (2), ta có:

\[
z = \frac{5x}{4} \quad (2)
\]

Bây giờ, thay thế \( y \) và \( z \) từ (1) và (2) vào phương trình (3):

\[
x + \frac{3x}{2} + \frac{5x}{4} = 60
\]

Để tính toán dễ hơn, quy đổi tất cả về mẫu số chung. Mẫu số chung là 4:

\[
x + \frac{6x}{4} + \frac{5x}{4} = 60
\]

\[
x + \frac{11x}{4} = 60
\]

Tính \( x \):

\[
\frac{4x + 11x}{4} = 60
\]

\[
\frac{15x}{4} = 60
\]

Giải ra \( x \):

\[
15x = 240 \quad \Rightarrow \quad x = 16
\]

Bây giờ thay giá trị của \( x \) vào (1) và (2) để tìm \( y \) và \( z \):

Từ (1) với \( x = 16 \):

\[
y = \frac{3 \cdot 16}{2} = 24
\]

Từ (2) với \( x = 16 \):

\[
z = \frac{5 \cdot 16}{4} = 20
\]

Vậy kết quả là:

- \( x = 16 \)
- \( y = 24 \)
- \( z = 20 \)

Kiểm tra lại tổng:

\[
x + y + z = 16 + 24 + 20 = 60
\]

Kết quả là chính xác.