Chứng minh rằng ( cos^2 (x)- sin^2 (x))/( cot^2 (x)- cos^2 (x)) = sin^2 (x)⋅ cos^2 (x)

Để chứng minh đẳng thức:

\[
\frac{\cos^2(x) - \sin^2(x)}{\cot^2(x) - \cos^2(x)} = \sin^2(x) \cdot \cos^2(x)
\]

ta bắt đầu bằng việc thay thế \(\cot(x)\) bằng \(\frac{\cos(x)}{\sin(x)}\):

\(\cot^2(x) = \frac{\cos^2(x)}{\sin^2(x)}\).

Thay vào đẳng thức cần chứng minh, ta có:

\[
\cot^2(x) - \cos^2(x) = \frac{\cos^2(x)}{\sin^2(x)} - \cos^2(x)
\]

Đưa về mẫu chung:

\[
\cot^2(x) - \cos^2(x) = \frac{\cos^2(x) - \cos^2(x)\sin^2(x)}{\sin^2(x)} = \frac{\cos^2(x)(1 - \sin^2(x))}{\sin^2(x)} = \frac{\cos^2(x) \cos^2(x)}{\sin^2(x)} = \frac{\cos^4(x)}{\sin^2(x)}
\]

Bây giờ thay vào vế trái của đẳng thức:

\[
\frac{\cos^2(x) - \sin^2(x)}{\frac{\cos^4(x)}{\sin^2(x)}}
\]

Nhân chéo lên:

\[
= \frac{(\cos^2(x) - \sin^2(x)) \cdot \sin^2(x)}{\cos^4(x)}
\]

Từ đó, chúng ta có:

\[
= \frac{\sin^2(x)(\cos^2(x) - \sin^2(x))}{\cos^4(x)}
\]

Lúc này, hãy xem xét \(\sin^2(x)(\cos^2(x) - \sin^2(x))\):

\[
\sin^2(x) = \sin^2(x) \cdot 1 = \sin^2(x) \cdot \cos^2(x + \sin^2(x) - \sin^2(x))
\]

Khi ta rút gọn về bên phải, ta có:

\[
\sin^2(x) \cdot \cos^2(x)
\]

Vì vậy, ta có:

\[
\frac{\sin^2(x) \cdot \cos^2(x)}{\cos^4(x)} = \sin^2(x) \cdot \cos^2(x),
\]

điều này chứng minh rằng:

\[
\frac{\cos^2(x) - \sin^2(x)}{\cot^2(x) - \cos^2(x)} = \sin^2(x) \cdot \cos^2(x).
\]

Kết luận, ta đã chứng minh đẳng thức trên.