Để giải phương trình đa thức bậc ba:

\[
-9x^3 + 7x^2 + 7x - 9 = 0,
\]

chúng ta có thể tìm một nghiệm gần đúng hoặc sử dụng phương pháp phân tích.

Đầu tiên, thử thay x = 1 vào phương trình:

\[
-9(1)^3 + 7(1)^2 + 7(1) - 9 = -9 + 7 + 7 - 9 = -4 \quad \text{(không nghiệm)}
\]

Tiếp theo, thử x = -1:

\[
-9(-1)^3 + 7(-1)^2 + 7(-1) - 9 = 9 + 7 - 7 - 9 = 0 \quad \text{(là nghiệm)}
\]

Vậy x = -1 là một nghiệm của phương trình.

Sau đó, ta sẽ chia đa thức \(-9x^3 + 7x^2 + 7x - 9\) cho \((x + 1)\) bằng phương pháp chia đa thức hoặc bằng cách sử dụng định lý phân tích đa thức.

Khi thực hiện chia \( -9x^3 + 7x^2 + 7x - 9 \) cho \( x + 1 \):

- Chia \(-9x^3\) cho \(x\) cho ra \(-9x^2\).
- Nhân \(-9x^2\) với \(x + 1\) cho ra \(-9x^3 - 9x^2\).
- Trừ đi ta có: \((7x^2 + 9x^2) + 7x - 9\) = \(16x^2 + 7x - 9\).
- Chia \(16x^2\) cho \(x\) cho ra \(16x\).
- Nhân \(16x\) với \(x + 1\) cho ra \(16x^2 + 16x\).
- Trừ đi: \((7x - 16x) - 9\) cho ra \(-9x - 9\).
- Chia \(-9x\) cho \(x\) cho ra \(-9\).
- Nhân với \(x + 1\) cho ra \(-9x - 9\). Trừ ra ta còn 0.

Kết quả phân tích có dạng:

\[
-9x^3 + 7x^2 + 7x - 9 = (x + 1)(-9x^2 + 16x - 9).
\]

Bây giờ, ta cần giải phương trình bậc hai \(-9x^2 + 16x - 9 = 0\). Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai \(ax^2 + bx + c = 0\):

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a},
\]
với \(a = -9\), \(b = 16\), và \(c = -9\).

Tính:

\[
\Delta = b^2 - 4ac = 16^2 - 4 \times (-9) \times (-9) = 256 - 324 = -68
\]

Vì \(\Delta < 0\), phương trình bậc hai này không có nghiệm thực.

Vậy nên, nghiệm của phương trình ban đầu chỉ có:

\[
x = -1.
\]

Tóm lại, nghiệm của phương trình \( -9x^3 + 7x^2 + 7x - 9 = 0 \) là:

\[
\boxed{-1}.
\]