Để giải phương trình \(\frac{x-5}{x+3} - 1 = \frac{5x-2}{9-x^2}\), ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Đưa tất cả về cùng một mẫu số, với phương trình bên trái:
\[
\frac{x-5}{x+3} - 1 = \frac{x-5}{x+3} - \frac{x+3}{x+3} = \frac{x-5 - (x+3)}{x+3} = \frac{x - 5 - x - 3}{x+3} = \frac{-8}{x+3}
\]

Do đó, phương trình trở thành:
\[
\frac{-8}{x+3} = \frac{5x-2}{9-x^2}
\]

2. Thay vì làm việc với \(9 - x^2\), ta có thể viết lại như sau:
\[
9 - x^2 = (3-x)(3+x)
\]

3. Đặt hai bên phương trình cùng một mẫu, ta sẽ nhân chéo:
\[
-8(9 - x^2) = (5x - 2)(x + 3)
\]

4. Tính toán cả hai phía.
- Bên trái:
\[
-8(9 - x^2) = -72 + 8x^2
\]
- Bên phải:
\[
(5x - 2)(x + 3) = 5x^2 + 15x - 2x - 6 = 5x^2 + 13x - 6
\]

5. Thiết lập phương trình từ hai phía:
\[
8x^2 - 72 = 5x^2 + 13x - 6
\]

6. Chuyển tất cả về một phía:
\[
8x^2 - 5x^2 - 13x - 72 + 6 = 0
\]
\[
3x^2 - 13x - 66 = 0
\]

7. Giải phương trình bậc hai \(3x^2 - 13x - 66 = 0\) bằng công thức nghiệm:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{13 \pm \sqrt{(-13)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-66)}}{2 \cdot 3}
\]
\[
= \frac{13 \pm \sqrt{169 + 792}}{6}
\]
\[
= \frac{13 \pm \sqrt{961}}{6}
\]
\[
= \frac{13 \pm 31}{6}
\]

Tính hai nghiệm:
- Nghiệm 1:
\[
x_1 = \frac{44}{6} = \frac{22}{3}
\]
- Nghiệm 2:
\[
x_2 = \frac{-18}{6} = -3
\]

8. Kiểm tra giá trị \(x = -3\):
Bởi vì mẫu số \(x+3\) trong phương trình ban đầu sẽ bị chia cho 0. Nên \(x = -3\) không phải là một nghiệm hợp lệ.

Vậy nghiệm của phương trình là:
\[
x = \frac{22}{3}
\]