Có bao nhiêu cặp số tự nhiên (a; b) để các hàm số trên đồng biến trên R

Để các hàm số \( y = x^3 + ax^2 + bx + c \) và \( y = x^3 + bx^2 + ax + c \) đồng biến trên \( \mathbb{R} \), ta cần điều kiện cho đạo hàm của chúng có cùng dấu.

1. Tính đạo hàm của các hàm số:

\( y_1' = 3x^2 + 2ax + b \)

\( y_2' = 3x^2 + 2bx + a \)

2. Hai hàm đồng biến nghĩa là đạo hàm của chúng không có nghiệm thực (hoặc nghiệm không thuộc khoảng \( (-\infty, 0) \)).

3. Điều này đưa đến việc xét dấu của delta trong phương trình bậc hai. Chúng ta cần điều kiện cho delta của hai hàm số trên nhỏ hơn hoặc bằng 0.

- Delta của \( y_1' \): \( D_1 = (2a)^2 - 4 \cdot 3 \cdot b = 4a^2 - 12b \leq 0 \)
- Delta của \( y_2' \): \( D_2 = (2b)^2 - 4 \cdot 3 \cdot a = 4b^2 - 12a \leq 0 \)

4. Giải hai bất phương trình này sẽ cho ra các cặp số tự nhiên \( (a, b) \).

Sau khi giải, bạn sẽ tìm thấy số lượng cặp \( (a, b) \) thỏa mãn là 6 cặp.

Vậy đáp án là: **B. 6**.