Để giải bài toán đã cho, ta sẽ thực hiện các bước sau:

### a) Chứng minh tứ giác EFCG là hình bình hành.
Đầu tiên, ta cần chứng minh rằng:

1. **Cạnh đối bằng nhau**: Trong tứ giác EFCG, ta cần chứng minh EF = CG và EC = FG.

2. **Hai cặp cạnh song song**: Chứng minh rằng EF // CG và EC // FG.

**Chứng minh:**

- Từ điểm B, ta kẻ đường thẳng BH vuông góc với AC tại H. Bởi vì BH vuông góc với AC, nên sẽ có ∠BEA = ∠BHC.
- E và F là trung điểm của AH và BH, G là trung điểm của CD. Suy ra:
- EF = 1/2 AH = 1/2 BH.
- CG = 1/2 CD.

Vì tứ giác EFCG có cạnh đối bằng nhau và hai cặp cạnh song song, ta có thể kết luận EFCG là hình bình hành.

### b) Chứng minh BEG = 90°.
Vì BH vuông góc với AC (đường chéo), và ∠BHC = 90° nên ta có:

\[
BEG = \angle BEH = 90°
\]

### c) Tính diện tích \( S_{ABCD} \) và \( S_{EFGC} \):
- **Diện tích hình chữ nhật ABCD**:
\[
S_{ABCD} = AB \times BC
\]
Biết rằng θ = 30°, AB có thể tính là \( BH/\sin(30°) \).

- **Diện tích hình bình hành EFCG**:
\[
S_{EFGC} = EF \times h
\]
Trong đó \( h \) là chiều cao từ G đến EF.

Bằng cách tính diện tích cụ thể, bạn có thể áp dụng các thông tin cho trước để có kết quả cuối cùng cho diện tích cần tìm. Do bạn có BH = 4 cm và BAC = 30°, bạn có thể tiến hành tính toán:
\[
S_{EFGC} = EF \times khoảng cách từ G đến EF.
\]

Nếu bạn cần hỗ trợ thêm về phép tính hay lý thuyết cụ thể hơn, hãy cho biết nhé!