Để chứng minh đẳng thức \( \cot x - \tan x = 2 \cot (2x) \), trước tiên chúng ta sẽ tính từng vế.

1. **Biến đổi vế trái**:
\[
\cot x - \tan x = \frac{\cos x}{\sin x} - \frac{\sin x}{\cos x}
\]
Đưa về mẫu chung:
\[
= \frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\sin x \cos x}
\]
Theo định nghĩa sin và cos, ta biết rằng:
\[
\cos^2 x - \sin^2 x = \cos(2x)
\]
Do đó, vế trái trở thành:
\[
\cot x - \tan x = \frac{\cos(2x)}{\sin x \cos x}
\]

2. **Biến đổi vế phải**:
Sử dụng công thức \( \cot(2x) = \frac{\cos(2x)}{\sin(2x)} \) và \( \sin(2x) = 2 \sin x \cos x \):
\[
2 \cot(2x) = 2 \cdot \frac{\cos(2x)}{\sin(2x)} = 2 \cdot \frac{\cos(2x)}{2 \sin x \cos x} = \frac{\cos(2x)}{\sin x \cos x}
\]

3. **Kết luận**:
Như vậy, chúng ta có:
\[
\cot x - \tan x = \frac{\cos(2x)}{\sin x \cos x} = 2 \cot(2x)
\]
Vậy ta đã chứng minh được đẳng thức:
\[
\cot x - \tan x = 2 \cot (2x)
\]

Đẳng thức đã được chứng minh.