Để giải bài toán này, ta sử dụng một số kiến thức về tứ giác và định lý cosin.

### a) Tính độ dài hai đường chéo và cạnh còn lại của tứ giác ABCD.

1. **Tính độ dài cạnh CD**:
Dựa vào định lý Pythagore trong tam giác vuông, ta có:
\[
CD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{10^2 + 4^2} = \sqrt{100 + 16} = \sqrt{116} = 2\sqrt{29}
\]

2. **Tính độ dài đường chéo AC**:
Sử dụng định lý cosin trong tam giác ABC:
\[
AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(B)
\]
Biết:
- \( AB = 10 \)
- \( BC = CD = 7 \)
- \( B = 53° \)

Ta có:
\[
AC^2 = 10^2 + 7^2 - 2 \cdot 10 \cdot 7 \cdot \cos(53°)
\]
Tính giá trị \( \cos(53°) \approx 0.6018 \):
\[
AC^2 = 100 + 49 - 140 \cdot 0.6018 \approx 100 + 49 - 84.252 = 64.748
\]
\[
AC \approx \sqrt{64.748} \approx 8.05
\]

3. **Tính độ dài đường chéo BD**:
Sử dụng định lý cosin trong tam giác ABD:
\[
BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos(A)
\]
Để tính \( A \), ta có \( A = 180° - B - C \). (Cần tìm thêm thông tin về góc C hoặc sử dụng định lý tổng ba góc)

### b) Cho biết góc B bằng 53°. Tìm số đo góc C
Dựa vào tính chất của tứ giác, tổng của các góc trong tứ giác bằng 360°:
\[
A + B + C + D = 360°
\]
Do đó:
\[
A + 53° + C + D = 360°
\]
Nếu \( D \) cũng biết hoặc tính được (ví dụ nếu CD là cạnh đối diện với AB):
Giả sử \( D = C \) (trong một số trường hợp nhất định), thì ta có:
\[
A + 53° + C + C = 360°
\]
Rút gọn:
\[
A + 53° + 2C = 360°
\]
Từ đó có thể tính ra số đo góc C sau khi tìm được góc A hoặc D cụ thể.

Bạn cần một số thông tin thêm để có thể tìm chính xác.