Để tìm các giá trị nguyên của \( x \) và \( y \) cho biểu thức:

\[
M = \frac{xy + x + 5}{xy + x + 4}
\]

Chúng ta sẽ phân tích biểu thức này.

1. **Tìm điều kiện cho \( M \) là số nguyên**: Biểu thức \( M \) sẽ là số nguyên khi \( xy + x + 4 \) chia hết cho \( xy + x + 5 \).
- Ta có:

\[
M = 1 + \frac{1}{xy + x + 4}
\]

Do đó, \( \frac{1}{xy + x + 4} \) phải là số nguyên, nghĩa là \( xy + x + 4 \) phải chia hết cho 1. Điều này luôn đúng. Nên ta chỉ cần đảm bảo rằng mẫu số khác 0:

\[
xy + x + 4 \neq 0
\]

2. **Xét các trường hợp**: Để \( M \) có giá trị nguyên, ta có thể viết:

\[
M = k \quad \text{(với } k \text{ là số nguyên)}
\]

3. **Áp dụng các giá trị cụ thể**: Giả sử \( M = k \), ta có:

\[
k(xy + x + 4) = xy + x + 5
\]

\[
kxy + kx + 4k = xy + x + 5
\]

4. **Sắp xếp lại**:

\[
(k-1)xy + (k-1)x + (4k - 5) = 0
\]

Từ đây, ta có phương trình bậc hai về \( x \):

\[
(k-1)xy + (k-1)x + (4k - 5) = 0
\]

Để phương trình này có nghiệm nguyên, điều kiện là:

\[
\Delta = (k-1)^2 - 4(k-1)(4k - 5) \geq 0
\]

5. **Giải hệ điều kiện**: Tiến hành giải điều kiện để tìm các giá trị tự nhiên của \( x \) và \( y \) sao cho \( xy + x + 4 \) và \( xy + x + 5 \) là số nguyên.

Ta thử các giá trị nguyên nhỏ của \( x \) và \( y \) để kiểm tra đưa \( M \) về dạng nguyên.

6. **Ví dụ cụ thể**: Thử với \( x = 1, y = 1 \):

\[
M = \frac{1 \cdot 1 + 1 + 5}{1 \cdot 1 + 1 + 4} = \frac{7}{6} \quad (\text{không nguyên})
\]

Thử tiếp với các giá trị khác cho đến khi tìm được nghiệm thỏa mãn điều kiện.

Tiếp tục với các giá trị của \( x, y \) khác cho đến khi thu được các giá trị nguyên của \( M \).

Tóm lại, bài toán này yêu cầu thử nghiệm các cặp giá trị số để tìm ra giá trị nguyên cho biểu thức đã cho.