Giải các bất phương trình sau và biểu diễn tập nghiệm trên trục số

Để giải các bất phương trình, chúng ta thực hiện từng bước như sau:

### a. Giải bất phương trình \( 5 + \frac{x+4}{5} < \frac{x - 2}{3} + \frac{4 - x}{2} \)

1. **Tiến hành làm sạch và đơn giản hóa bất phương trình.**
- Nhân cả hai vế với 30 (để loại bỏ mẫu):
\[
30(5) + 30\left(\frac{x+4}{5}\right) < 30\left(\frac{x - 2}{3}\right) + 30\left(\frac{4 - x}{2}\right)
\]
- Kết quả các phép nhân sẽ là:
\[
150 + 6(x + 4) < 10(x - 2) + 15(4 - x)
\]
- Thực hiện các phép phân phối và rút gọn:
\[
150 + 6x + 24 < 10x - 20 + 60 - 15x
\]
- Sắp xếp các hạng tử:
\[
174 < -5x + 40
\]
- Chuyển biến x sang một bên:
\[
5x < 40 - 174
\]
\[
5x < -134
\]
\[
x < -\frac{134}{5} = -26.8
\]

2. **Kết luận:** Tập nghiệm là \( (-\infty, -26.8) \).

### b. Giải bất phương trình \( (3x - 1)(2x - 5) \ge (x + 4)(1 - 3x) \)

1. **Phát biểu lại và tổ chức các hạng tử.**
- Mở rộng cả hai bên:
\[
6x^2 - 15x - 2x + 5 \ge x + 4 - 3x^2 - 12x
\]
- Sắp xếp lại:
\[
6x^2 - 15x + 3x + 12x + 3x^2 + 5 - 4 \ge 0
\]
\[
9x^2 - 15x + 1 \ge 0
\]

2. **Sử dụng công thức nghiệm để tìm nghiệm.**
- Tính discriminant:
\[
\Delta = (-15)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 1 = 225 - 36 = 189
\]
- Nghiệm của phương trình bậc 2:
\[
x = \frac{15 \pm \sqrt{189}}{2 \cdot 9} = \frac{15 \pm 3\sqrt{21}}{18}
\]

3. **Xác định dấu của biểu thức:**
- Đặt \( x_1 = \frac{15 - 3\sqrt{21}}{18} \) và \( x_2 = \frac{15 + 3\sqrt{21}}{18} \).
- Phân tích dấu của đa thức bậc 2 sẽ cho ta khoảng cần thiết.

4. **Kết luận:**
- Phương trình dương khi \( (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty) \).

### Biểu diễn tập nghiệm trên trục số

- Đối với phần a. Chúng ta biểu diễn khoảng \( (-\infty, -26.8) \).
- Đối với phần b. Biểu diễn dấu hiệu của \( \ge 0 \) sẽ là khoảng \( (-\infty, x_1) \) và \( (x_2, +\infty) \).

### Tóm tắt nghiệm:
- Bất phương trình a: \( (-\infty, -26.8) \)
- Bất phương trình b: \( (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty) \)

Hy vọng bạn có thể hiểu và biểu diễn chúng trên trục số một cách chính xác!