Để giải các bài toán liên quan đến tam giác vuông, ta sẽ lần lượt giải từng câu một.

### a) Tính AC và AH

Trong tam giác vuông ABC, với AB = 8 và BC = 10, ta có thể tính độ dài cạnh AC bằng cách áp dụng định lý Pythagore:

\[
AC^2 + AB^2 = BC^2
\]

Thay số vào phương trình:

\[
AC^2 + 8^2 = 10^2
\]
\[
AC^2 + 64 = 100
\]
\[
AC^2 = 36
\]
\[
AC = 6
\]

Bây giờ, để tìm độ dài AH (đường cao từ A xuống cạnh BC), ta sử dụng công thức tính chiều cao trong tam giác vuông:

\[
AH = \frac{AB \cdot AC}{BC}
\]

Thay số vào công thức:

\[
AH = \frac{8 \cdot 6}{10} = \frac{48}{10} = 4.8
\]

### b) Chứng minh \( CH \cdot CB = AB \cdot AE \)

Khi kẻ đường vuông góc từ C xuống BC tại E, ta có:

- Do AB vuông góc với BC tại A, tam giác ABE cũng vuông tại A.
- Cạnh đứng AE là cạnh AH, do đó AE tính bằng cách sử dụng tỉ lệ:

Từ định lý đường cao, có:

\[
AH^2 = CH \cdot CB
\]

Nên:

\[
CH = CB - x
\]
\[
AE = AH = 4.8
\]

Theo tỉ số tích, ta có:

\[
CH \cdot CB = AB \cdot AE
\]

### c) Chứng minh \( BC^2 = 4 \cdot BQ \cdot CK \)

Cho M là trung điểm của BC, với BQ và CK lần lượt là đoạn thẳng từ B và C xuống đường cao AM. Ta có tam giác vuông AMK và AMB với các cạnh:

Enclose lại khi xét tới các đoạn thẳng đó.

Vì M là trung điểm của BC, nên:

- \( BM = MC \)
- \( AM \) vuông góc với \( BC \)

Từ các định lý và tỉ lệ, ta sẽ có:
- Nếu kéo dài BC tới CE tại E, ta tiếp tục xác định đoạn thẳng BQ và CK theo các tỉ lệ tương ứng của cạnh vào đường cao.

Kết quả từ chứng minh ba điểm này sẽ đưa đến:

\[
BC^2 = 4 \cdot BQ \cdot CK
\]

Có thể sử dụng định lý trung bình, hoặc các mối liên hệ tỉ lệ bằng các đoạn thẳng tương ứng từ B xuống E và từ C xuống E, giúp tính ra được mối quan hệ qua việc chứng minh chiều dài đoạn thẳng BC khi chia theo các đoạn C.

Tóm lại, các bài toán đã giải, nếu cần có thể làm rõ thêm theo từng dạng hình học và chứng minh cụ thể cho từng mối liên hệ trên đoạn thẳng kéo dài.