giúp e với ạ ----- Nội dung dịch tự động từ ảnh ----- Bài 2: a) Cho biết \( a - b = \frac{\pi}{6} \). Hãy tính \[ A = (cos a + cos b)^{2} + (sin a + sin b)^{2} \] b) Biết \( cos a = \frac{1}{3} \), \( cos b = \frac{1}{4} \). Hãy tính \( cos(a - b)cos(a + b) \) c) Biết \( tan a = \frac{1}{2} \), \( tan b = \frac{1}{3} \), \( tan c = \frac{1}{4} \). Tính \( tan(a + b) \), \( tan(a + b + c) \)
1 trả lời
51 Tham khảo câu trả lời từ Trợ lý ảo Lazi Để giải bài toán này, chúng ta sẽ làm lần lượt từng phần. ### Phần a: Cho \( a - b = \frac{\pi}{6} \). 1. **Tính \( A = ( \cos a + \cos b )^2 + ( \sin a + \sin b )^2 \)**: Sử dụng công thức tổng hợp, ta có: \[ A = \cos^2 a + \cos^2 b + 2 \cos a \cos b + \sin^2 a + \sin^2 b + 2 \sin a \sin b = 1 + 1 + 2(\cos a \cos b + \sin a \sin b) \] Theo công thức \( \cos(a-b) \): \[ \cos(a-b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b = \cos\left( \frac{\pi}{6} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \] Do đó: \[ A = 2 + 2 \cos\left( \frac{\pi}{6} \right) = 2 + 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3} \] 2. **Tính \( B = ( \cos a + \sin b )^2 + ( \cos b - \sin a )^2 \)**: Áp dụng công thức: \[ B = \cos^2 a + \sin^2 b + 2 \cos a \sin b + \cos^2 b + \sin^2 a - 2 \sin a \cos b \] Kết hợp: \[ B = 1 + 1 + 2(\cos a \sin b - \sin a \cos b) = 2 + 2 \sin(b-a) \] Tính \( \sin\left( b-a \right) \) với \( b - a = -\frac{\pi}{6} \): \[ \sin(-\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2} \] Do đó: \[ B = 2 - 2 \cdot \frac{1}{2} = 2 - 1 = 1 \] ### Phần b: Biết \( \cos a = \frac{1}{3} \), \( \cos b = \frac{1}{4} \): Tính \( \cos(a-b) \): \[ \cos(a-b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b \] Với \( \sin a = \sqrt{1 - \cos^2 a} = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3} \) Và \( \sin b = \sqrt{1 - \cos^2 b} = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{4}\right)^2} = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4} \) Tính: \[ \cos(a-b) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} + \frac{2\sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{15}}{4} \] \[ = \frac{1}{12} + \frac{2\sqrt{30}}{12} = \frac{1 + 2\sqrt{30}}{12} \] Tính \( \cos(a+b) \): \[ \cos(a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b \] Tính: \[ \cos(a+b) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} - \frac{2\sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{15}}{4} \] \[ = \frac{1}{12} - \frac{2\sqrt{30}}{12} = \frac{1 - 2\sqrt{30}}{12} \] ### Phần c: Biết \( \tan a = \frac{1}{2} \), \( \tan b = \frac{1}{3} \), \( \tan c = \frac{1}{4} \): Tính \( \tan(a+b) \): \[ \tan(a+b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \tan b} = \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}} = \frac{\frac{3}{6} + \frac{2}{6}}{1 - \frac{1}{6}} = \frac{\frac{5}{6}}{\frac{5}{6}} = 1 \] Tính \( \tan(a+b+c) \): \[ \tan(a+b+c) = \frac{\tan(a+b) + \tan c}{1 - \tan(a+b) \tan c} = \frac{1 + \frac{1}{4}}{1 - 1 \cdot \frac{1}{4}} = \frac{\frac{5}{4}}{\frac{3}{4}} = \frac{5}{3} \] Kết luận: - \( A = 2 + \sqrt{3} \) - \( B = 1 \) - \( \cos(a-b) \) và \( \cos(a+b) \) như trên. - \( \tan(a+b+c) = \frac{5}{3} \)