Để giải bài toán này, chúng ta sẽ làm lần lượt từng phần.

### Phần a:

Cho \( a - b = \frac{\pi}{6} \).

1. **Tính \( A = ( \cos a + \cos b )^2 + ( \sin a + \sin b )^2 \)**:

Sử dụng công thức tổng hợp, ta có:

\[
A = \cos^2 a + \cos^2 b + 2 \cos a \cos b + \sin^2 a + \sin^2 b + 2 \sin a \sin b = 1 + 1 + 2(\cos a \cos b + \sin a \sin b)
\]

Theo công thức \( \cos(a-b) \):

\[
\cos(a-b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b = \cos\left( \frac{\pi}{6} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2}
\]

Do đó:

\[
A = 2 + 2 \cos\left( \frac{\pi}{6} \right) = 2 + 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3}
\]

2. **Tính \( B = ( \cos a + \sin b )^2 + ( \cos b - \sin a )^2 \)**:

Áp dụng công thức:

\[
B = \cos^2 a + \sin^2 b + 2 \cos a \sin b + \cos^2 b + \sin^2 a - 2 \sin a \cos b
\]

Kết hợp:

\[
B = 1 + 1 + 2(\cos a \sin b - \sin a \cos b) = 2 + 2 \sin(b-a)
\]

Tính \( \sin\left( b-a \right) \) với \( b - a = -\frac{\pi}{6} \):

\[
\sin(-\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}
\]

Do đó:

\[
B = 2 - 2 \cdot \frac{1}{2} = 2 - 1 = 1
\]

### Phần b:

Biết \( \cos a = \frac{1}{3} \), \( \cos b = \frac{1}{4} \):

Tính \( \cos(a-b) \):

\[
\cos(a-b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b
\]

Với \( \sin a = \sqrt{1 - \cos^2 a} = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3} \)

Và \( \sin b = \sqrt{1 - \cos^2 b} = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{4}\right)^2} = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4} \)

Tính:

\[
\cos(a-b) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} + \frac{2\sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{15}}{4}
\]
\[
= \frac{1}{12} + \frac{2\sqrt{30}}{12} = \frac{1 + 2\sqrt{30}}{12}
\]

Tính \( \cos(a+b) \):

\[
\cos(a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b
\]

Tính:

\[
\cos(a+b) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} - \frac{2\sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{15}}{4}
\]
\[
= \frac{1}{12} - \frac{2\sqrt{30}}{12} = \frac{1 - 2\sqrt{30}}{12}
\]

### Phần c:

Biết \( \tan a = \frac{1}{2} \), \( \tan b = \frac{1}{3} \), \( \tan c = \frac{1}{4} \):

Tính \( \tan(a+b) \):

\[
\tan(a+b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \tan b} = \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}} = \frac{\frac{3}{6} + \frac{2}{6}}{1 - \frac{1}{6}} = \frac{\frac{5}{6}}{\frac{5}{6}} = 1
\]

Tính \( \tan(a+b+c) \):

\[
\tan(a+b+c) = \frac{\tan(a+b) + \tan c}{1 - \tan(a+b) \tan c} = \frac{1 + \frac{1}{4}}{1 - 1 \cdot \frac{1}{4}} = \frac{\frac{5}{4}}{\frac{3}{4}} = \frac{5}{3}
\]

Kết luận:
- \( A = 2 + \sqrt{3} \)
- \( B = 1 \)
- \( \cos(a-b) \) và \( \cos(a+b) \) như trên.
- \( \tan(a+b+c) = \frac{5}{3} \)