Tính

Ta biết \( a = \cot^{-1}\left(\frac{1}{3}\right) \) và \( \frac{\pi}{2} < a < \pi \). Để tìm \( \sin\left(\frac{\pi}{6} - a\right) \) và \( \tan\left(\frac{\pi}{4} - a\right) \), ta bắt đầu bằng cách tìm giá trị của \( \sin a \) và \( \cos a \).

1. **Tính \( \sin a \) và \( \cos a \)**:

Từ định nghĩa, \( \cot a = \frac{1}{3} \) nghĩa là \( \tan a = 3 \). Ta có thể sử dụng tam giác vuông, đặt đối diện bằng 3 và kề bằng 1:
\[
\Rightarrow \quad \text{Đối: } 3, \quad \text{Kề: } 1 \quad \Rightarrow \quad \text{Huyền: } \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}
\]

Vậy:
\[
\sin a = \frac{3}{\sqrt{10}}, \quad \cos a = \frac{1}{\sqrt{10}}
\]

2. **Tính \( \sin\left(\frac{\pi}{6} - a\right) \)**:
Sử dụng công thức sin:
\[
\sin(x - y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y
\]
Với \( x = \frac{\pi}{6} \) và \( y = a \):
\[
\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}, \quad \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}
\]
Đặt vào công thức:
\[
\sin\left(\frac{\pi}{6} - a\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{10}} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3}{\sqrt{10}}
\]
\[
= \frac{1}{2\sqrt{10}} - \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{10}} = \frac{1 - 3\sqrt{3}}{2\sqrt{10}}
\]

3. **Tính \( \tan\left(\frac{\pi}{4} - a\right) \)**:
Sử dụng công thức tan:
\[
\tan(x - y) = \frac{\tan x - \tan y}{1 + \tan x \tan y}
\]
Với \( x = \frac{\pi}{4} \) và \( y = a \):
\[
\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1, \quad \tan a = 3
\]
Đặt vào công thức:
\[
\tan\left(\frac{\pi}{4} - a\right) = \frac{1 - 3}{1 + 1 \cdot 3} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}
\]

Vậy:
\[
\sin\left(\frac{\pi}{6} - a\right) = \frac{1 - 3\sqrt{3}}{2\sqrt{10}}, \quad \tan\left(\frac{\pi}{4} - a\right) = -\frac{1}{2}
\]