Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện từng phần một cách tuần tự.

### a) Chứng minh rằng \( AE \cdot AB = AF \cdot AC \)
Trong tam giác \( \triangle AHB \) và \( \triangle AHC \):

- \( HE \perp AB \) và \( HF \perp AC \) cho thấy rằng \( AE \) và \( AF \) lần lượt là chiều cao từ \( H \) tới cạnh \( AB \) và \( AC \).
- Áp dụng định lý diện tích tam giác, ta có:

\[
S_{AHB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AH = \frac{1}{2} \cdot AE \cdot AB
\]

\[
S_{AHC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot AH = \frac{1}{2} \cdot AF \cdot AC
\]

Bằng cách so sánh các diện tích này:

\[
AE \cdot AB = AF \cdot AC
\]

### b) Tính độ dài \( AE \) và \( BE \) khi biết \( AB = 4 \, \text{cm} \), \( AH = 3 \, \text{cm} \)

Sử dụng định lý diện tích:

\[
S_{AHB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AH
\]
\[
S_{AHB} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = 6 \, \text{cm}^2
\]

Đồng thời, chúng ta đã biết rằng:

\[
S_{AHB} = \frac{1}{2} \cdot AE \cdot AB
\]

Thay vào phương trình:

\[
6 = \frac{1}{2} \cdot AE \cdot 4
\]
\[
6 = 2AE \quad \Rightarrow \quad AE = 3 \, \text{cm}
\]

Để tính \( BE \):

\[
BE = AB - AE = 4 - 3 = 1 \, \text{cm}
\]

### c) Tính \( FC \) khi biết \( \angle HAC = 30^\circ \)

Trong tam giác \( AHC \), ta có:

- \( AH = 3 \, \text{cm} \)
- \( \angle HAC = 30^\circ \)

Sử dụng định nghĩa của sin:

\[
\sin(30^\circ) = \frac{HF}{AC} = \frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad HF = \frac{1}{2} \cdot AC
\]

Từ triangle \( HFC \), ta biết rằng \( HF \) là chiều cao từ \( H \) xuống \( AC \).

Dùng định lý Pythagore trong \( \triangle AHF \):

\[
AF^2 + HF^2 = AH^2
\]
\[
AF^2 + \left( \frac{1}{2}AC \right)^2 = 3^2
\]

Xử lý chi tiết hơn giúp ta tìm được các đoạn cần thiết sau.

### Tóm lại:
- \( AE = 3 \, \text{cm} \)
- \( BE = 1 \, \text{cm} \)
- Để tính \( FC \), bạn cần thông tin về độ dài cạnh \( AC \) hoặc thêm thông tin khác để có thể giải tiếp.