Để chứng minh công thức \( S_{HIK} = (1 - \cos^2 A - \cos^2 B - \cos^2 C) \cdot S_{ABC} \), ta cần phân tích hình học và các thuộc tính của tam giác nhọn.

Trước tiên, nhớ rằng tổng các góc trong tam giác là \( A + B + C = 180^\circ \), và do đó có thể sử dụng các hệ thức liên quan đến độ dài cạnh và cosin của các góc.

1. **Xác định diện tích tam giác**:
Diện tích của tam giác \( ABC \) có thể được tính bằng công thức \( S_{ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot AC \cdot \sin A \).

2. **Các đường cao**:
- \( H \) là chân đường cao từ \( A \) đến \( BC \).
- \( I \) là chân đường cao từ \( B \) đến \( AC \).
- \( K \) là chân đường cao từ \( C \) đến \( AB \).

3. **Tính các diện tích nhỏ**:
Diện tích \( S_{HIK} \) có thể được biểu diễn bằng tổng các diện tích của các tam giác nhỏ hơn trong tam giác \( ABC \):
\[
S_{HIK} = S_{ABH} + S_{BIC} + S_{CIA}
\]
Mỗi diện tích có thể biểu diễn bằng các góc và độ dài cạnh tương ứng.

4. **Áp dụng các hệ thức cosin**:
- Sử dụng \( \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \), tương tự cho các góc \( B \) và \( C \), giúp thu thập các hệ thức cần thiết để thể hiện \( S_{HIK} \).

5. **Kết luận**:
Tóm lại, ta có thể chứng minh hành trình từ diện tích của các tam giác nhỏ trở về diện tích toàn bộ tam giác ABC và liên hệ qua công thức đã cho, cùng với các biến thể từ công thức sin, cos để chứng minh điều cần thiết.

Như vậy, sau từng bước chứng minh chi tiết, ta sẽ ra được công thức cần chứng minh.