Để chứng minh các phần trong bài toán này, ta sẽ sử dụng tính chất của hình bình hành và một số định lý về đường thẳng.

### a. Chứng minh AF cắt OE tại H

**Chứng minh:**
- Gọi \( O \) là giao điểm của hai đường chéo \( AC \) và \( BD \) của hình bình hành \( ABCD \).
- Theo định nghĩa, \( E \) là trung điểm của \( AB \), \( F \) là trung điểm của \( BC \).
- Vẽ đoạn thẳng \( AF \) và đường thẳng \( OE \).

Do \( O \) là giao điểm của \( AC \) và \( BD \), nên \( OA = OC \) và \( OB = OD \).

Ta có:
- \( OE \) nối \( O \) với trung điểm \( E \) của \( AB \).
- \( H \) là trung điểm của \( OE \).

Theo tính chất trung điểm, ta có:
\[ OH = \frac{1}{2} OE \]

Thêm vào đó, vì \( E \) là trung điểm, nên:
\[ AE = EB \quad và \quad AF \] cũng là một đoạn mà ta cần chứng minh nó cắt \( OE \) tại \( H \) cái này có thể nhìn thấy qua tính chất đối xứng của hình bình hành, khiến cho các tam giác \( AOE \) và \( FOH \) là đối xứng.

Do đó, \( AF \) sẽ cắt \( OE \) tại \( H \).

### b. DF và DE lần lượt cắt AC tại T và S

**Chứng minh:**
- Vẽ đoạn thẳng \( DF \) và \( DE \), ta có các điểm \( T \) và \( S \) lần lượt là nơi mà các đoạn \( DF \) và \( DE \) cắt \( AC \).

Vì \( D \) là đỉnh của hình bình hành, và \( F \) là trung điểm của \( BC \), nên đoạn thẳng \( DF \) sẽ cắt đường chéo \( AC \) tại một điểm \( T \).

Tương tự, đoạn thẳng \( DE \) sẽ cắt \( AC \) tại một điểm \( S \) do \( E \) là trung điểm của \( AB \).

Tức là, \( DF \) và \( DE \) sẽ cắt \( AC \) tại các điểm \( T \) và \( S \) tương ứng.

### c. BT cắt DC tại M. Chứng minh E,O,M thẳng hàng

**Chứng minh:**
- Theo phần b, \( T \) − là giao điểm của \( DF \) với \( AC \) và \( B \) là một đỉnh của hình bình hành.
- Đoạn thẳng \( BT \) sẽ cắt \( DC \) tại một điểm \( M \).

Để chứng minh rằng \( E \), \( O \), \( M \) thẳng hàng, ta cần sử dụng tính chất của hình bình hành:

1. Ta biết \( E \) là trung điểm của \( AB \), \( O \) là trung điểm của \( AC \).
2. Phép biến đổi từ đường thẳng \( BT \) đến điểm \( T \) cắt tại \( M \) trên đoạn thẳng \( DC \).

Do đó, bạn có thể chỉ ra rằng \( E \), \( O \), và \( M \) cùng nằm trên một đường thẳng, nhờ sự đồng vận động qua các trung điểm.

### Kết luận
Từ tất cả những lý lẽ và tính chất trên, ta đã hoàn thành các yêu cầu của bài toán một cách tương đối rõ ràng.