Để giải bài toán tam giác vuông ABC với các thông tin đã cho, ta thực hiện các bước sau:

### 1) Giải tam giác ABC

- **Công thức và dữ liệu:**
- \( AB = 6 \, \text{cm} \)
- \( C = 30^\circ \)

- **Tính độ dài các cạnh:**
- Tam giác ABC vuông tại A, nên \( \angle B = 90^\circ - \angle C = 60^\circ \).

- Áp dụng định lý Sin:
- \( \frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin B} = \frac{BC}{\sin A} \)

Ta có:
\[
\frac{6}{\sin 30^\circ} = \frac{AC}{\sin 60^\circ} = \frac{BC}{\sin 90^\circ}
\]
- Với \( \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \), \( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \), và \( \sin 90^\circ = 1 \):

Tính chiều dài của các cạnh:
\[
\frac{6}{\frac{1}{2}} = 12 \quad \Rightarrow \quad AC = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} \, \text{cm}
\]
\[
BC = 12
\]

### 2) Kẻ đường cao AH của tam giác ABC. Tính AH và BH.

- Tính độ dài AH:
- Công thức tính đường cao AH trong tam giác vuông:
\[
AH = \frac{AB \cdot AC}{BC}
\]
\[
AH = \frac{6 \cdot 6\sqrt{3}}{12} = 3\sqrt{3} \, \text{cm}
\]

- Tính BH:
- Trong tam giác vuông, ta có \( BH = AC \cdot \sin C \):
\[
BH = (6\sqrt{3}) \cdot \sin 30^\circ = 6\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = 3\sqrt{3} \, \text{cm}
\]

### 3) Chứng minh
Ta cần chứng minh:
\[
AC \cdot \sin C + AB \cdot \sin B = \frac{4S_{ABC}}{BC}
\]
- Với:
\[
S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6\sqrt{3} = 18\sqrt{3}
\]
- Tính bên trái:
\[
AC \cdot \sin C = 6\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = 3\sqrt{3}
\]
\[
AB \cdot \sin B = 6 \cdot \sin 60^\circ = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}
\]
Vậy:
\[
3\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 6\sqrt{3}
\]

- Tính bên phải:
\[
\frac{4S_{ABC}}{BC} = \frac{4 \cdot 18\sqrt{3}}{12} = 6\sqrt{3}
\]

### Kết luận
Ta đã chứng minh:
\[
AC \cdot \sin C + AB \cdot \sin B = \frac{4S_{ABC}}{BC}
\]

### Bài 6
Để tính giá trị \( N = 12 \tan 32^\circ \cdot \tan 58^\circ + \sin^2 51^\circ + \sin^2 39^\circ - \frac{8 \cot 35^\circ}{\tan 55^\circ} \), bạn có thể dùng máy tính hoặc bảng lượng giác để tìm giá trị từng phần.