Để giải hệ phương trình sau và tính \( M = a + b \):

\[
\begin{cases}
a^3 - 3a^2 + 5a - 17 = 0 \\
b^3 - 3b^2 + 5b + 11 = 0
\end{cases}
\]

Chúng ta sẽ sử dụng phương pháp cộng hai phương trình lại với nhau.

Cộng hai phương trình, ta có:

\[
a^3 - 3a^2 + 5a - 17 + b^3 - 3b^2 + 5b + 11 = 0
\]

Sắp xếp lại:

\[
a^3 + b^3 - 3(a^2 + b^2) + 5(a + b) - 6 = 0
\]

Ta có công thức:

\[
a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)
\]

Và:

\[
a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab
\]

Đặt \( S = a + b \) và \( P = ab \), ta có:

\[
a^2 + b^2 = S^2 - 2P
\]

Do đó, phương trình trở thành:

\[
S(S^2 - 3P) - 3(S^2 - 2P) + 5S - 6 = 0
\]

Rút gọn và thu gọn các hệ số cho \( S \) và \( P \) một cách hợp lý để tìm giá trị của \( S \).

Từ đây, bạn có thể tính giá trị của \( S = a + b \). Để giải chính xác, bạn có thể thử nghiệm với các giá trị \( a \) và \( b \) để kiểm tra xem giá trị nào phù hợp với các phương trình đã cho.