Để chứng tỏ ba điều đã cho trong bài toán, ta sẽ sử dụng các tính chất về góc trong tam giác và về đường thẳng song song.

### a) Chứng tỏ rằng \( AM \parallel BC \):

Trong tam giác \( ABC \), ta có:

- \( \angle CAB = 55^\circ \)
- \( \angle ABC = 40^\circ \)

Tính góc \( ACB \) bằng công thức tổng của ba góc trong tam giác:

\[
\angle ACB = 180^\circ - \angle CAB - \angle ABC = 180^\circ - 55^\circ - 40^\circ = 85^\circ
\]

Theo định lý về góc đồng vị, nếu hai đường thẳng bị cắt bởi một đường thẳng khác tạo thành các góc đồng vị thì hai đường thẳng đó song song.

Ta có:

- \( \angle CAB = \angle AMC \) (góc đồng vị).

Do đó:

\[
AM \parallel BC
\]

### b) Chứng tỏ rằng \( AN \parallel BC \):

Tương tự, áp dụng góc trong tam giác, ta có:

- \( \angle ACB = 85^\circ \).

Ta có \( \angle ANB = 40^\circ \) (góc đồng vị) với \( \angle ABC\).

Do đó:

\[
AN \parallel BC
\]

### c) Chứng tỏ rằng ba điểm \( M, A, N \) thẳng hàng:

Từ hai kết quả trên, ta có:

- \( AM \parallel BC \)
- \( AN \parallel BC \)

Nếu hai đường thẳng song song có cùng một điểm nằm trên cả hai đường thẳng đó, thì ba điểm này sẽ thẳng hàng.

Ở đây, điểm \( A \) nằm trên cả \( AM \) và \( AN \) và cả hai đường thẳng này đều song song với \( BC \). Do đó, ta có \( M, A, N \) thẳng hàng.

Vậy ta có ba điều cần chứng minh như sau:

1. \( AM \parallel BC \)
2. \( AN \parallel BC \)
3. \( M, A, N \) thẳng hàng.