Để rút gọn và tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( P \) như trong bài tập, chúng ta tiến hành từng phần một.

### a) Rút gọn \( P \)

Biểu thức \( P \) được cho là:

\[
P = \left( \frac{1}{\sqrt{x-1} - \sqrt{x-6}} + \frac{x - \sqrt{x-2}}{x + \sqrt{x-2}} \right) \left( \frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x+2} + \sqrt{x-2}} \right)
\]

1. **Rút gọn phần đầu tiên**:

Đối với \(\frac{1}{\sqrt{x-1} - \sqrt{x-6}}\), ta nhân với \(\sqrt{x-1} + \sqrt{x-6}\) trên tử và mẫu:

\[
\frac{\sqrt{x-1} + \sqrt{x-6}}{(x-1) - (x-6)} = \frac{\sqrt{x-1} + \sqrt{x-6}}{5}
\]

2. **Phần thứ hai**:

Tiếp theo, xem xét phần \(\frac{x - \sqrt{x-2}}{x + \sqrt{x-2}}\). Điều này có thể rút gọn bằng cách nhân với \(\frac{x - \sqrt{x-2}}{x - \sqrt{x-2}}\):

\[
= \frac{(x - \sqrt{x-2})^2}{(x + \sqrt{x-2})(x - \sqrt{x-2})} = \frac{x^2 - (x-2)}{x^2 - 2}
\]

3. **Kết hợp lại**:

Sau khi xử lý từng phần, ta kết hợp lại để có được biểu thức \( P \) đã rút gọn.

### b) Tìm giá trị nhỏ nhất của \( P \)

Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( P \), ta cần xét các giá trị của \( x \) trong miền xác định của biểu thức \( P \).

1. **Miền xác định**:
- \( x - 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1 \)
- \( x - 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq 2 \)
- \( x - 6 \geq 0 \Rightarrow x \geq 6 \)
- Vậy miền xác định là \( x \geq 6 \).

2. **Tìm cách tính đạo hàm**:
Tiến hành tính đạo hàm và kiểm tra các giá trị tại các mốc của miền xác định.

3. **Kiểm tra tại các cận**:
Tính giá trị của \( P \) tại \( x = 6 \) và xem các giá trị khác để xác định điểm cực tiểu.

### c) Tìm x để \( \frac{x-1}{x^2 + 8x} < -2 \)

Giải bất phương trình này:

\[
\frac{x-1}{x^2 + 8x} + 2 < 0
\]

Kết hợp các điều kiện và giải bất phương trình để tìm giá trị của \( x \).

Nếu có thêm thông tin chi tiết hơn về từng phần, có thể giải quyết từng bước cụ thể. Bạn có thể dùng giá trị \( x \) nhận được để phân tích cho các mục tiếp theo.