Để giải bài toán, ta cần phân tích các giả thiết và định nghĩa liên quan đến tam giác vuông ABC tại A và các điểm M, N đã cho.

1. **Giả thiết**:
- Tam giác ABC vuông tại A, có nghĩa là ∠CAB = 90°.
- M là trung điểm của AC.
- N là một điểm trên tia MB sao cho M là trung điểm của BN và CN = AB.

2. **Tính chất**:
- Vì M là trung điểm của AC, nên \( AM = MC \).
- M là trung điểm của BN có nghĩa là \( BM = MN \).

3. **Đưa ra các phép chứng minh**:
- Từ giả thiết CN = AB, ta có thể xem xét hình thức của tam giác BMC và các đoạn thẳng liên quan.
- Vì CM vuông góc với AC, ta có thể sử dụng các tính chất về đường vuông góc để tìm mối liên hệ giữa các đoạn thẳng.

4. **Kết luận**:
- Điều cần chứng minh là AN = BC và AN // BC (đối với trường hợp B) có thể chỉ ra từ các tính chất của hình vuông và tam giác vuông.

Tóm lại:
- Thông qua các tính chất hình học và phép chứng minh, ta có thể thấy rằng các đoạn thẳng liên quan (AN và BC) thực sự là bằng nhau và song song nếu chúng ta thiết lập đúng các định nghĩa và sử dụng các tính chất của trung điểm và các hình vuông.

Chúng ta có thể chọn đáp án B: \( AN = BC \) và \( AN // BC \).