Để thu gọn hằng đẳng thức \((x+3)^2 + 2(x+3)(x+2) + (x+2)^2\), ta sẽ thực hiện các bước sau:

Bước 1: Mở rộng từng biểu thức:

1. \((x+3)^2 = x^2 + 6x + 9\)
2. \((x+2)^2 = x^2 + 4x + 4\)
3. \(2(x+3)(x+2) = 2[(x+3)(x+2)] = 2(x^2 + 5x + 6) = 2x^2 + 10x + 12\)

Bước 2: Cộng tất cả các biểu thức đã mở rộng lại:

\[
(x^2 + 6x + 9) + (2x^2 + 10x + 12) + (x^2 + 4x + 4)
\]

Bước 3: Gộp các hạng tử giống nhau:

\[
x^2 + 2x^2 + x^2 + 6x + 10x + 4x + 9 + 12 + 4
\]

Tính từng hạng tử một:

- Hạng tử bậc 2: \(1 + 2 + 1 = 4\) nên có \(4x^2\)
- Hạng tử bậc 1: \(6 + 10 + 4 = 20\) nên có \(20x\)
- Hạng tử hằng số: \(9 + 12 + 4 = 25\)

Bước 4: Viết lại biểu thức thu gọn:

\[
4x^2 + 20x + 25
\]

Bước 5: Nhận diện và rút gọn hơn nữa:

Biểu thức \(4x^2 + 20x + 25\) có thể được viết dưới dạng bình phương hoàn chỉnh:

\[
4(x^2 + 5x + \frac{25}{4}) = 4(x + \frac{5}{2})^2
\]

Vậy, hằng đẳng thức đã thu gọn là:

\[
4\left(x + \frac{5}{2}\right)^2
\]