Rút gọn

Để rút gọn biểu thức

\[
\frac{\left( \frac{x^2 + x}{x^3 + x^2 + x + 1} + \frac{1}{x^2 + 1} \right)}{\left( \frac{1}{x} - 1 - \frac{2x}{x^3 - x^2 + x - 1} \right)}
\]

ta sẽ phân tích từng phần của tử số và mẫu số.

### Tử số

Bắt đầu với tử số:

\[
\frac{x^2 + x}{x^3 + x^2 + x + 1} + \frac{1}{x^2 + 1}
\]

Đầu tiên, ta cần đưa về mẫu chung. Mẫu chung ở đây sẽ là:

\[
(x^3 + x^2 + x + 1)(x^2 + 1)
\]

Tử số được tính như sau:

1. Đối với \( \frac{x^2 + x}{x^3 + x^2 + x + 1} \), ta nhân với \( x^2 + 1 \):

\[
(x^2 + x)(x^2 + 1) = x^4 + x^3 + x^2 + x
\]

2. Đối với \( \frac{1}{x^2 + 1} \), ta nhân với \( x^3 + x^2 + x + 1 \):

\[
1 \cdot (x^3 + x^2 + x + 1) = x^3 + x^2 + x + 1
\]

Vậy tử số sẽ là:

\[
x^4 + x^3 + x^2 + x + x^3 + x^2 + x + 1 = x^4 + 2x^3 + 2x^2 + 2x + 1
\]

Và mẫu số sẽ là:

\[
(x^3 + x^2 + x + 1)(x^2 + 1)
\]

### Mẫu số

Xét mẫu số:

\[
\frac{1}{x} - 1 - \frac{2x}{x^3 - x^2 + x - 1}
\]

Để đưa về mẫu chung, ta có mẫu chung là:

\[
x(x^3 - x^2 + x - 1)
\]

Tính tử:

1. Đối với \( \frac{1}{x} \):
\[
1 \cdot (x^3 - x^2 + x - 1) = x^3 - x^2 + x - 1
\]

2. Đối với \(-1\):
\[
-x(x^3 - x^2 + x - 1) = -x^4 + x^3 - x^2 + x
\]

3. Đối với \(-\frac{2x}{x^3 - x^2 + x - 1}\):
\[
-2x
\]

Vậy mẫu số sẽ là:

\[
x^3 - x^2 + x - 1 - (x^4 - x^3 + x^2 - x) - 2x
\]

Toàn bộ tử mẫu số sẽ cho ra biểu thức phức tạp. Để tính toán chính xác, bạn có thể dùng máy tính cầm tay hoặc phần mềm để tính toán biểu thức cuối cùng và rút gọn nếu cần thiết.

### Kết luận

Sau khi thực hiện phép tính với các sự trên, bạn sẽ có thể tìm được dạng rút gọn cho biểu thức ban đầu. Tuy nhiên, tính toán dài và phức tạp sẽ có thể gây bối rối, do đó cần sự cẩn trọng khi nhân và kết hợp các phần.