Để giải bài toán này, chúng ta sẽ chứng minh hai phần a) và b) như sau:

### Phần a)
Chứng minh rằng \( CD \perp AB \) và \( BE \perp AC \).

1. **Chứng minh \( CD \perp AB \)**:
- Do \( O \) là tâm của đường tròn đường kính \( BC \), nên \( OB \) và \( OC \) là bán kính.
- Tam giác \( OBD \) và tam giác \( OCD \) đều có góc vuông tại \( D \) (vì \( D \) nằm trên đường tròn).
- Vì vậy, \( \angle ODB = \angle ODC = 90^\circ \).
- Ta có \( CD \) là đường vuông góc với \( AB \) (tính chất góc nội tiếp).

2. **Chứng minh \( BE \perp AC \)**:
- Tương tự, ta có \( \angle OEC = 90^\circ \).
- Do đó, \( BE \perp AC \).

### Phần b)
Chứng minh rằng \( AH \perp BC \).

1. Xét tứ giác \( ABHE \) và \( ACHD \):
- \( D \) và \( E \) là giao điểm của các đường tròn với \( AB \) và \( AC \).
- Do \( CD \perp AB \) và \( BE \perp AC \), nên tứ giác \( ABHE \) và \( ACHD \) là tứ giác đều.
- Từ đó, \( AH \) là đường vuông góc với đường thẳng \( BC \).

Như vậy, chúng ta đã chứng minh hai yêu cầu a) và b) của bài toán.