Cho a, b, c là ba số nguyên thỏa măn 6a^2+7b^2=15c^2. Chứng minh abc chia hết cho 98

Để chứng minh rằng abc chia hết cho 98, trước tiên ta sẽ phân tích điều kiện \( 6a^2 + 7b^2 = 15c^2 \).

Ta sẽ xem xét mô hình này modulo 7 và modulo 2 để tìm điều kiện về a, b, c.

**Bước 1: Xem xét modulo 7**

Ta có:

\[
6a^2 + 7b^2 \equiv 15c^2 \mod 7
\]

Rút gọn \( 7b^2 \equiv 0 \) và \( 15 \equiv 1 \mod 7 \), ta được:

\[
6a^2 \equiv c^2 \mod 7
\]

Bây giờ, chúng ta sẽ tính \( 6a^2 \) cho các giá trị có thể của \( a^2 \mod 7 \):

- Nếu \( a \equiv 0 \mod 7 \) thì \( 6a^2 \equiv 0 \).
- Nếu \( a \equiv 1 \mod 7 \) thì \( 6a^2 \equiv 6 \).
- Nếu \( a \equiv 2 \mod 7 \) thì \( 6a^2 \equiv 4 \).
- Nếu \( a \equiv 3 \mod 7 \) thì \( 6a^2 \equiv 6 \).
- Nếu \( a \equiv 4 \mod 7 \) thì \( 6a^2 \equiv 2 \).
- Nếu \( a \equiv 5 \mod 7 \) thì \( 6a^2 \equiv 6 \).
- Nếu \( a \equiv 6 \mod 7 \) thì \( 6a^2 \equiv 1 \).

Tổng hợp lại, \( c^2 \equiv 0, 1, 2, 4, 6 \mod 7 \). Lưu ý rằng để \( c^2 \equiv 0 \mod 7 \), thì \( c \) phải chia hết cho 7.

**Bước 2: Xem xét modulo 2**

Bây giờ ta xem xét phương trình này modulo 2:

\[
6a^2 + 7b^2 \equiv 15c^2 \mod 2
\]

Ta biết \( 6 \equiv 0 \), \( 7 \equiv 1 \), và \( 15 \equiv 1 \mod 2 \) nên ta có:

\[
0 + b^2 \equiv c^2 \mod 2
\]

Suy ra \( b^2 \equiv c^2 \mod 2 \). Điều này có nghĩa là \( b \) và \( c \) có cùng tính chẵn lẻ.

**Kết luận:**

- Nếu \( c \equiv 0 \mod 7 \), thì \( abc \) chắc chắn chia hết cho 7.
- Từ điều kiện \( b \equiv c \mod 2 \), vì vậy nếu \( c \) là số chẵn, thì cả \( b \) và \( c \) đều là số chẵn.

Ta đã có ít nhất 1 trong số \( a, b, c \) là số chẵn, và \( c \) chia hết cho 7. Do đó:

- \( abc \) chia hết cho \( 2 \) (vì có ít nhất 1 số chẵn),
- \( abc \) chia hết cho \( 7 \).

Vậy \( abc \) chia hết cho \( 14 \).

Vì vậy, ta cần chứng minh thêm rằng \( abc \) chia hết cho \( 7 \) và \( 2 \) sẽ dẫn tới chia hết cho \( 98 \).

Nếu ít nhất 1 trong số \( a \), \( b \), \( c \) là số chẵn và \( c \) chia hết cho 7, thì ta sẽ thấy rằng ít nhất một trong những \( a \), \( b \), \( c \) là số chẵn, và \( c \equiv 0 \mod 7 \).

Khi đó, ta có \( abc \) chia hết cho \( 2 \cdot 49 = 98 \).

Do đó, có thể khẳng định rằng \( abc \) chia hết cho 98.

\(\square\)