Để chứng minh rằng ba cung BD, DE và EC bằng nhau, ta sẽ sử dụng tính chất của hình tròn và các cung của nó.

### Chứng minh rằng ba cung BD, DE và EC bằng nhau

1. **Xét tam giác đều ABC**: Vì tam giác ABC đều, ta có \(AB = AC = BC\).

2. **Cùng độ dài dây cung**: Bởi vì D và E là hai điểm trên đường tròn với bán kính bằng chiều dài BC và nằm trên hai đoạn AB và AC, ta có:

- D ay \(D\) nằm trên \(AB\) nên chân vuông góc từ \(O\) (trung tâm) xuống \(AB\) gấp đôi góc ở đỉnh \(A\).
- Tương tự cho điểm \(E\) nằm trên \(AC\).

3. **Góc giữa các dây cung**: Do \(BD\) và \(CE\) là các dây cung nằm trong một góc bằng nhau, theo tính chất tam giác đều, ta có rằng các cung BD, DE và EC cũng sẽ bằng nhau vì chúng đều định nghĩa bởi góc nhọn ở trung tâm \(O\) và cùng có độ dài dây như nhau.

### Tính số đo mỗi cung

1. Tổng độ dài cung của một vòng tròn là \(360°\).

2. Tam giác đều \(ABC\) chia vòng tròn thành ba phần bằng nhau (vì \(D\) và \(E\) nằm đều trên \(AB\) và \(AC\)). Do đó, mỗi cung sẽ đo:

\[
\text{Số đo mỗi cung} = \frac{360°}{3} = 120°.
\]

### Tính diện tích phần viên phần giới hạn bởi dây CE và cung CE

1. **Diện tích hình tròn**: Diện tích của hình tròn sẽ là
\[
S = \pi r^2
\]
với \(r\) là bán kính của hình tròn.

Vì \(BC = 2 \sqrt{3} cm\), bán kính \(r\) phải là \( \sqrt{3} cm\).

2. **Tính diện tích phần viên**: Diện tích toàn bộ hình tròn sẽ là:
\[
S = \pi (\sqrt{3})^2 = 3\pi \, cm^2.
\]

3. **Diện tích hình quạt CE**: Diện tích hình quạt CE (120°) sẽ là:
\[
S_{\text{quạt}} = \frac{120}{360} \cdot 3\pi = \frac{1}{3} \cdot 3\pi = \pi \, cm^2.
\]

4. **Diện tích tam giác CDE**: Tính diện tích tam giác CDE, sử dụng công thức:
\[
S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(120°).
\]

Ta có \(AB = AC = 2\sqrt{3} cm\) và \( \sin(120°) = \frac{\sqrt{3}}{2} \):
\[
S_{\text{CDE}} = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \, cm^2.
\]

5. **Diện tích phần giới hạn**: Diện tích phần viền được giới hạn bởi dây CE và cung CE là:
\[
S_{\text{phần viền}} = S_{\text{quạt CE}} - S_{\text{tam giác CDE}}.
\]
- \(S_{\text{phần viền}} = \pi - 3\sqrt{3} \, cm^2.\)

### Kết luận
- Ba cung BD, DE và EC đều bằng nhau, mỗi cung đo \(120°\).
- Diện tích phần viền giới hạn bởi dây CE và cung CE là \(\pi - 3\sqrt{3} \, cm^2\).