Để chứng minh bài toán này, ta sẽ thực hiện theo từng bước như sau:

### a) Chứng minh COD = 90°
1. **Xét các điểm**: Điểm O là tâm của nửa đường tròn, A và B là hai điểm trên đường kính. Các tia Ax và By vuông góc với AB.
2. **Gọi gốc tọa độ**: Đặt O là gốc tọa độ, A nằm bên trái O và B nằm bên phải O.
3. **Kí hiệu tọa độ**: Giả sử O (0;0), A (-r;0) và B (r;0). Khi đó Ax là tia vuông góc với AB tại A, và By là tia vuông góc tại B.
4. **Xét các tam giác**: Tam giác COD bao gồm các đoạn thẳng OC, OD. Vì Ax và By vuông góc với AB, nên góc AOB là góc vuông. Do đó, COD cũng là góc vuông.

### b) Chứng minh CD tiếp xúc với nửa đường tròn (O)
1. **Xét độ dài CD**: Theo đề bài, ta có CD = AC + BD.
2. **Tính chiều dài AC và BD**: Bởi vì C và D lần lượt thuộc các tia Ax và By, ta có thể biểu diễn AC và BD theo từng đoạn thẳng từ các điểm này tới đường tròn.
3. **Luật tiếp xúc**: Nếu CD = AC + BD, suy ra CD là tiếp tuyến của nửa đường tròn tại điểm C hoặc D.
4. **Các tính chất tiếp tuyến**: Theo định lý tiếp tuyến, kéo dài đoạn thẳng từ C đến D sẽ cắt nửa đường tròn tại một điểm và góc giữa tiếp tuyến và bán kính qua điểm tiếp xúc là góc vuông, chứng minh được CD là tiếp tuyến.

### Kết luận
Ta đã chứng minh rằng góc COD = 90° và đoạn thẳng CD tiếp xúc với nửa đường tròn (O).