Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện từng phần một.

### a) Chứng minh K là trung điểm của AC.

1. **Xác định vị trí các điểm:**
- Xét góc \( \angle xAy = 60^\circ \) với tia phân giác \( Az \). Gọi \( H \) là giao điểm của \( BH \) với \( Ay \).
- Điểm \( B \) nằm trên tia \( Ax \).
- \( BK \) vuông góc với \( Az \) và điểm \( C \) là giao điểm của \( Bt \) và \( Az \).
- Từ \( C \), kẻ \( CM \) vuông góc với \( Ay \) tại \( M \).

2. **Xét tính chất của hình:**
- Trong tam giác \( \triangle ABH \) có \( BH \perp Ay \) nên:
\[
\angle ABH = 90^\circ.
\]

3. **Định dạng triangle:**
- Góc \( \angle xAy = 60^\circ \) suy ra:
\[
\angle ABK = 30^\circ.
\]
- Do đó, \( \triangle ABK \) có hai góc là \( 90^\circ \) và \( 30^\circ \), suy ra góc còn lại là \( 60^\circ \).

4. **Xét các đoạn:**
- Ta có \( AH = HB \) nên \( K \) là trung điểm của \( AC \).

### b) Chứng minh Δ KMC là tam giác đều.

1. **Độ dài các cạnh:**
- Xét \( CM \perp Ay \), có \( CM \) bằng độ dài của các đoạn thẳng có độ dài bằng nhau: \( AK = KM \).

2. **Cạnh AK và KM:**
- Vì \( K \) là trung điểm của \( AC \) nên:
\[
AK = KC.
\]
- Kết hợp với \( AK = KM \):
\[
AK = KM = MC.
\]

3. **Kết luận:**
- Do đó, \( Δ KMC \) là tam giác đều.

### c) Cho BK = 2cm. Tính các cạnh Δ AKM.

1. **Tính cạnh:**
- Từ \( BK = 2 \) cm, bởi tính chất của tam giác \( AKM \):
\[
AK = 2 \text{ cm}.
\]
- Do trong tam giác đều \( Δ KMC \) thì các cạnh bằng nhau, nên:
\[
KM = 2 \text{ cm}.
\]
- Tương tự với \( AM \):
\[
AM = 2 \text{ cm}.
\]

### Kết luận

Tóm lại:
- \( K \) là trung điểm của \( AC \).
- \( Δ KMC \) là tam giác đều.
- Các cạnh của \( Δ AKM \) đều bằng \( 2 \) cm.

Hy vọng rằng giải thích trên giúp bạn hiểu rõ hơn về bài toán!