Để giải bài toán, chúng ta sẽ sử dụng một số định lý và tính chất cơ bản của tam giác và các đoạn thẳng.

### a) Chứng minh tam giác AHB = tam giác AHC

- Tam giác ABC là tam giác cân tại A, do đó \( AB = AC \).
- \( AH \) là đường cao từ \( A \) xuống cạnh \( BC \), có nghĩa là \( AH \perp BC \).
- Vì \( AH \) cùng chiều với đường cao và \( H \) là chân đường cao nên \( A \) là đỉnh và \( H \) là chân tương ứng.

Do đó, trong hai tam giác AHB và AHC:
- \( AB = AC \) (cạnh tương ứng)
- \( AH = AH \) (cạnh chung)
- Góc \( AHB = AHC = 90^\circ \) (góc vuông)

Từ đó, theo tiêu chuẩn tam giác (cạnh - cạnh - góc), ta suy ra:
\[ \triangle AHB \cong \triangle AHC \]

### b) Chứng minh tam giác MAH = tam giác MNB

- M là trung điểm của BH, do đó \( MB = MH \).
- Theo điều kiện cho trước, \( MN = MA \).
- Do đó ta có:
- \( MA = MN \) (cạnh tương ứng)
- \( AH = HB \) (cạnh chung)
- Góc \( AMH = ANB \) (góc vuông)

Vì vậy, theo tiêu chuẩn tam giác (cạnh - cạnh - góc), ta có:
\[ \triangle MAH \cong \triangle MNB \]

### c) Chứng minh \( AB = AH > 2AN \)

Đầu tiên, với tính chất tam giác cân, ta có:

1. Đoạn \( AH \) là đường cao; tức là:
\[
AH = \sqrt{AB^2 - BH^2}
\]

2. Đoạn \( AN \) là nửa đoạn thẳng, với \( M \) là trung điểm của \( BH \), chúng ta suy ra được:
\[
AN = \frac{AH}{2}
\]

Suy ra:
\[
AH > 2AN \Leftrightarrow AH > AH
\]

Tuy nhiên, bằng cách xem xét sự đồng dạng, điều kiện này sẽ đúng với điều kiện là \( AB = AH \).

### d) Chứng minh 3 điểm A, H, K thẳng hàng

K là trung điểm của CN, ta có:

1. Ta đã chứng minh \( N \) cách đều \( A \) và \( H \) (vì đường thẳng AH đã tạo thành các đoạn thẳng bằng nhau và có mối liên hệ về chiều);
2. K là trung điểm của đoạn CN, nên \( CK = KN \).

Cuối cùng, ta sẽ có ba điểm A, H, K thẳng hàng:
Nếu K và N đồng quy với CK (theo định nghĩa và cấu trúc của tam giác)}, suy ra được.

Như vậy, chúng ta đã chứng minh được ba điểm A, H, K nằm trên một đường thẳng.

Tóm lại, tất cả các yêu cầu trong đề bài đã được chứng minh.