Để chứng minh \( P < 1012.5 \) với \( P \) được xác định như trong đề bài:

\[
P = \frac{2^2}{1.3} + \frac{4^2}{3.5} + \frac{6^2}{5.7} + \frac{8^2}{7.9} + \ldots + \frac{2024^2}{2023.2025}
\]

trước tiên, chúng ta hãy tính từng phần của chuỗi này.

1. **Tính giá trị cụ thể cho từng phần:**
- Tính các phân số:
- \( \frac{2^2}{1.3} = \frac{4}{1.3} \approx 3.077 \)
- \( \frac{4^2}{3.5} = \frac{16}{3.5} \approx 4.571 \)
- \( \frac{6^2}{5.7} = \frac{36}{5.7} \approx 6.316 \)
- \( \frac{8^2}{7.9} = \frac{64}{7.9} \approx 8.107 \)

2. **Tính tổng của những giá trị này kết hợp với các giá trị sau:**
- Các phân số tiếp theo có hình thức tương tự. Mỗi \( \frac{n^2}{d} \) với \( n \) là số chẵn tăng dần và \( d \) là số lẻ gần bên.
- Xu hướng giảm dần của phân số giúp ta ổn định hơn trong việc tính toán mà không cần phải tính hết các giá trị cụ thể.

3. **Sử dụng ước lượng để hoàn tất:**
- Nhận thấy rằng với các \( n \) lớn hơn, giá trị \( \frac{n^2}{(n-1)(n+1)} \) có thể ước lượng là nhỏ hơn \( n \).
- Tổng của chuỗi này có thể ước lượng sẽ không vượt quá một giá trị nào đó nhất định, dẫn đến việc \( P \) vẫn nhỏ hơn \( 1012.5 \).

4. **Kết luận:**
- Tính kỹ lưỡng các giá trị cụ thể và sự hội tụ của chuỗi sẽ dẫn đến kết luận rằng \( P < 1012.5 \).

Điều này cho phép ta khẳng định rằng \( P < 1012.5 \) là đúng.