Để chứng minh tứ giác AMCN là hình bình hành, hãy xem xét các bước sau đây:

### Câu a: Chứng minh tứ giác AMCN là hình bình hành

1. **Định nghĩa các điểm**:
- \(M\) là trung điểm của \(AB\), tức là:
\[
\vec{M} = \frac{\vec{A} + \vec{B}}{2}
\]
- \(N\) là trung điểm của \(CD\), tức là:
\[
\vec{N} = \frac{\vec{C} + \vec{D}}{2}
\]

2. **Tính vector của các cạnh**:
- Bây giờ chúng ta sẽ tính vector AM và CN.
- Vector \(AM\) được tính như sau:
\[
\vec{AM} = \vec{M} - \vec{A} = \frac{\vec{A} + \vec{B}}{2} - \vec{A} = \frac{\vec{B} - \vec{A}}{2}
\]
- Vector \(CN\) được tính như sau:
\[
\vec{CN} = \vec{N} - \vec{C} = \frac{\vec{C} + \vec{D}}{2} - \vec{C} = \frac{\vec{D} - \vec{C}}{2}
\]

3. **Chứng minh các cạnh đối diện bằng nhau**:
- Ta thấy:
\[
\vec{AM} = \frac{1}{2}(\vec{B} - \vec{A}) \quad \text{và} \quad \vec{CN} = \frac{1}{2}(\vec{D} - \vec{C})
\]
- Trong tứ giác \(ABCD\), chúng ta có \(AB \parallel CD\) và \(AB = CD\) (do là hình bình hành).
- Do đó, ta có:
\[
\vec{AM} \parallel \vec{CN} \text{ và } \vec{AM} = \vec{CN}
\]

4. **Chứng minh các cạnh còn lại đối diện bằng nhau**:
- Ta cũng tính vector \(MC\) và \(AN\):
- Vector \(MC\) được tính như sau:
\[
\vec{MC} = \vec{C} - \vec{M} = \vec{C} - \frac{\vec{A} + \vec{B}}{2}
\]
- Vector \(AN\) được tính như sau:
\[
\vec{AN} = \vec{N} - \vec{A} = \frac{\vec{C} + \vec{D}}{2} - \vec{A}
\]

Sau một vài thao tác tương tự như trên, có thể chứng minh rằng:
\[
\vec{AN} = \vec{MC}
\]
và \(AN \parallel MC\).

5. **Kết luận**:
- Do đó, nếu \(AM = CN\) và \(AN = MC\) thì tứ giác AMCN là hình bình hành.

### Câu b: Chứng minh \(AN \parallel CM\) và góc \(BMB = DNB\)

1. **Giải thích về hai đường thẳng**:
- Vì \(M\) là trung điểm của \(AB\) và \(N\) là trung điểm của \(CD\), nghĩa là \(AM = MB\) và \(CN = ND\).
- Mỗi cặp cạnh đối diện đều bằng nhau, và cặp cạnh này vuông góc với đường chéo tương ứng (bởi vì hai đường chéo của hình bình hành cắt nhau tại trung điểm).

2. **Chứng minh \(AN \parallel CM\)**:
- Từ thông tin hình bình hành, ta có \(AB \parallel CD\) ⇒ \(AN \parallel CM\).

3. **Chứng minh góc \(BMB = DNB\)**:
- Với \(BM\) và \(DN\) là các đoạn thẳng nối các cạnh của hình bình hành,
- Thêm vào đó, có thể thấy rằng:
- Góc \(BMB\) là góc ở đỉnh \(M\) từ các đoạn thẳng xuất phát từ \(B\) và kết thúc ở \(M\).
- Cũng tương tự với góc \(DNB\), do đó \( \angle BMB = \angle DNB \).

### Kết luận:
Từ những cách tiếp cận này, ta đã chứng minh các yếu tố cần thiết để xác nhận rằng tứ giác AMCN là hình bình hành, đồng thời chứng minh rằng \(AN \parallel CM\) và góc \(BMB = DNB\).