Để rút gọn các biểu thức trong bài toán này, ta sẽ thực hiện từng phần. Dưới đây là các bước rút gọn cho từng biểu thức được cho:

### 1)
Biểu thức:
\[
P = \frac{x + 2 + \sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 1}}{x\sqrt{x - 1} + x + \sqrt{x + 1} + (1 - x)}
\]

Đơn giản hóa:
\[
P = \frac{x + 2 + 2\sqrt{x + 1}}{x\sqrt{x - 1} + (1 + x - x)}
\]
\[
= \frac{x + 2 + 2\sqrt{x + 1}}{x\sqrt{x - 1} + 1}
\]

### 2)
Biểu thức:
\[
P = \left( \frac{3}{x - \sqrt{x - 2}} + \frac{1}{\sqrt{x + 1}} \right) \cdot (-\sqrt{x - 2})
\]

Đơn giản hóa:
\[
= -\sqrt{x - 2} \cdot \left( \frac{3}{x - \sqrt{x - 2}} + \frac{1}{\sqrt{x + 1}} \right)
\]

### 3)
Biểu thức:
\[
A = \left( \frac{3\sqrt{x} + 6 + \sqrt{x}}{x - 4} \right) \cdot \frac{x - 9}{\sqrt{x - 3}}
\]

Sau khi rút gọn:
\[
= \frac{(4\sqrt{x} + 6)(x - 9)}{(x - 4)\sqrt{x - 3}}
\]

### 4)
Biểu thức:
\[
A = \left( \frac{x}{\sqrt{x - 2} - 1} + \frac{x - 1}{\sqrt{x + 2} - 2} \cdot \frac{\sqrt{x + 2}}{\sqrt{x - 2}} \right)
\]

Đơn giản hóa sẽ phụ thuộc vào việc kết hợp các mẫu số:
\[
= \frac{x(\sqrt{x - 2}) + (x - 1)(\sqrt{x + 2})}{(\sqrt{x - 2} - 1)(\sqrt{x + 2} - 2)}
\]

### Chú ý:
Khi rút gọn các biểu thức này, cần chú ý đến các điều kiện cho \(x\), như đã chỉ ra trong bài. Các bước trên cho thấy cách đơn giản hóa các biểu thức, nhưng sẽ cần thực hiện các phép toán cụ thể để có kết quả cuối cùng chính xác hơn.

Nếu bạn cần tính toán chi tiết hoặc kết quả cuối cùng cho mỗi biểu thức, hãy cho tôi biết!