Để tính đáy \( BC \) của tam giác \( ABC \) trong bài toán này, ta cần sử dụng công thức tính diện tích tam giác.

Diện tích của tam giác được tính bằng công thức:

\[
S = \frac{1}{2} \times \text{đáy} \times \text{chiều cao}
\]

Ta có:

1. Diện tích \( S = 150 \, m^2 \).
2. Gọi đáy \( BC = x \) và chiều cao từ đỉnh \( A \) xuống đáy \( BC \) là \( h \).

Từ công thức diện tích, ta có:

\[
150 = \frac{1}{2} \times x \times h \implies x \times h = 300 \quad (1)
\]

Khi kéo dài đáy \( BC \) thêm 5m, diện tích tăng thêm 35m², nên diện tích mới sẽ là:

\[
150 + 35 = 185 \, m^2
\]

Diện tích của tam giác mới có đáy là \( x + 5 \):

\[
185 = \frac{1}{2} \times (x + 5) \times h \implies (x + 5) \times h = 370 \quad (2)
\]

Giải hệ phương trình từ (1) và (2):

Từ (1): \( h = \frac{300}{x} \)

Thay vào (2):

\[
(x + 5) \cdot \frac{300}{x} = 370
\]

Giải phương trình này:

\[
300(x + 5) = 370x
\]
\[
300x + 1500 = 370x
\]
\[
1500 = 370x - 300x
\]
\[
70x = 1500 \implies x = \frac{1500}{70} = \frac{150}{7} \approx 21.43 \, m
\]

Vậy đáy \( BC \) của tam giác là:

\[
BC \approx 21.43 \, m
\]