Để giải quyết bài toán này, ta thực hiện các bước như sau:

### a) Chứng minh tứ giác BHKC là hình bình hành.

Ta cần chứng minh hai cặp cạnh đối diện bằng nhau.

1. **Xét các đoạn thẳng**: Ta có MH = MK (theo giả thiết).
2. **Xét tam giác BHM**: Tam giác này có điểm M là trung điểm của BC nên:
- BM = MC (1).
3. **Từ đó, ta có**:
- BH = HK (do KH = MH và hai cặp đoạn thẳng BM = MC).

Vì vậy, tứ giác BHKC có:
- BH = KC (từ (1)).
- BK = HC (do K nằm đối diện với H qua M).

Vậy BHKC là hình bình hành, bởi vì cặp cạnh đối diện bằng nhau và song song.

### b) Chứng minh BK ⊥ AB, CK ⊥ AC.

1. **Xét ba điểm H, B, K**: Ta có đường MH vuông góc với đường AB tại H (do BE là đường cao).
2. **Vì K là điểm đối xứng của M qua H**, nên BK cũng vuông góc với AB.
3. **Tương tự**, CK vuông góc với AC.

### c) Chứng minh rằng AMEF là tam giác cân.

1. **Xét đoạn AE**: M kẻ đường cao từ A xuống BC tại điểm E.
2. **Ta có M là trung điểm** của BC, do đó AE là đường trung bình của tam giác ABC.
3. **Tam giác AEF có AM = ME** do M là trung điểm nên AMEF là tam giác cân tại M.

### d) Vẽ CQ ⊥ BK tại Q. Chứng minh EF ⊥ EQ.

1. **Xét CQ vuông góc với BK tại Q**:
- Do BK vuông góc với AB và AC nên EQ cũng vuông góc với EF vì điểm E nằm trên đường cao AE.

Với các lý do trên, ta đã chứng minh xong các kín tính chất theo yêu cầu của bài.