Để chứng minh rằng điểm \( M \) là trung điểm của đoạn thẳng \( BC \), ta có thể sử dụng định lý về đoạn thẳng và định nghĩa về trung điểm.

1. **Đặt hệ trục tọa độ**:
Ta đặt tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \) với \( A(0, 0) \), \( B(b, 0) \) và \( C(0, c) \) với \( b \) và \( c \) là các số dương.

2. **Xác định tọa độ điểm \( M \)**:
M là điểm nằm trên đoạn thẳng \( BC \). Đoạn \( BC \) có điểm giữa \( P \) là trung điểm của \( BC \), tọa độ của \( P \) là:
\[
P = \left(\frac{b + 0}{2}, \frac{0 + c}{2}\right) = \left(\frac{b}{2}, \frac{c}{2}\right)
\]

3. **Tính độ dài các đoạn**:
- Đoạn \( BM \): Giả sử tọa độ \( M \) là \( (x, y) \) nằm trên \( BC \). Đoạn này có độ dài:
\[
BM = \sqrt{(x - b)^2 + (y - 0)^2}
\]
- Đoạn \( MA \): Đoạn này có độ dài:
\[
MA = \sqrt{(x - 0)^2 + (y - 0)^2} = \sqrt{x^2 + y^2}
\]

4. **Áp dụng điều kiện \( BM = MA \)**:
Theo giả thiết, ta có:
\[
BM = MA \implies \sqrt{(x - b)^2 + y^2} = \sqrt{x^2 + y^2}
\]
Bình phương hai vế, ta được:
\[
(x - b)^2 + y^2 = x^2 + y^2
\]
Rút gọn, ta có:
\[
(x - b)^2 = x^2
\]
Mở rộng:
\[
x^2 - 2bx + b^2 = x^2
\]
Đơn giản hóa:
\[
-2bx + b^2 = 0 \implies 2bx = b^2 \quad (b \neq 0)
\]
Ngày cvr:
\[
x = \frac{b}{2}
\]

5. **Tìm tọa độ \( y \)**:
Từ \( M \) nằm trên \( BC \), ta cũng dễ dàng thấy rằng khi \( x = \frac{b}{2} \) thì:
\[
y = \frac{c}{2}
\]

6. **Kết luận**:
Vậy tọa độ của điểm \( M \) là \( M\left(\frac{b}{2}, \frac{c}{2}\right) \), điều này cho thấy rằng \( M \) chính là trung điểm của đoạn thẳng \( BC \) vì tọa độ của trung điểm \( P \) của \( BC \) cũng là \( P\left(\frac{b}{2}, \frac{c}{2}\right) \).

Như vậy, \( M \) là trung điểm của \( BC \).