Để tìm các số nguyên \( a, b, c \) sao cho khi phân tích đa thức \( (x + a)(x - 4) - 7 \) ta có thể viết thành dạng \( (x + b)(x + c) \), trước tiên chúng ta sẽ thực hiện phép phân tích đa thức đã cho.

Bắt đầu với:

\[
(x + a)(x - 4) - 7
\]

Ta sẽ thực hiện nhân hai đa thức đầu tiên:

\[
= x^2 - 4x + ax - 4a - 7
\]

Gom nhóm các hạng tử lại, ta có:

\[
= x^2 + (a - 4)x - (4a + 7)
\]

Ta muốn biểu thức này có dạng \( (x + b)(x + c) \). Khi đó, ta có thể viết:

\[
(x + b)(x + c) = x^2 + (b + c)x + bc
\]

So sánh các hệ số của hai đa thức, ta có:

1. \( b + c = a - 4 \)
2. \( bc = -(4a + 7) \)

Chúng ta có hai phương trình với ba biến \( a, b, c \). Đến đây, ta có thể thử tìm giá trị cho \( a \) và sau đó tìm các giá trị cho \( b \) và \( c \).

**Thử với một vài giá trị nguyên cho \( a \):**

1. **Khi \( a = 1 \):**

- Phương trình thứ nhất trở thành:
\[
b + c = 1 - 4 = -3
\]

- Phương trình thứ hai trở thành:
\[
bc = -(4 \times 1 + 7) = -11
\]

- Giải hệ phương trình giá trị \( b, c \):
\[
t^2 + 3t - 11 = 0
\]
- Tính chất nghiệm của phương trình bậc 2 có thể dùng công thức:
\[
t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
- Áp dụng:
\[
t = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \times 1 \times (-11)}}{2 \times 1} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 44}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{53}}{2}
\]
- Vì \( \sqrt{53} \) không phải là số nguyên, nên không có nghiệm nguyên cho \( a = 1 \).

2. **Thử với \( a = -1 \):**

- Phương trình thứ nhất trở thành:
\[
b + c = -1 - 4 = -5
\]

- Phương trình thứ hai:
\[
bc = -(4 \times -1 + 7) = -(-4 + 7) = -3
\]

- Ta có hệ phương trình:
\[
t^2 + 5t - 3 = 0
\]
- Tính nghiệm:
\[
t = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 + 4 \times 3}}{2} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 12}}{2} = \frac{-5 \pm \sqrt{37}}{2}
\]
- Không có nghiệm nguyên.

Tiếp tục thử với \( a = -2, -3, ... \) cho đến khi tìm thấy nghiệm.

Cuối cùng, khi thử với \( a = -3 \):

- Có thể tìm thấy \( b = -1 \) và \( c = -2 \) thỏa mãn:

1. \( a = -3 \)
2. \( b + c = -3 - 4 = -7 \)
3. \( bc = -(4 \times -3 + 7) = -(12 + 7) = -19 \)

Nên \( b, c = -1, -6 \) thỏa mãn \( b + c \) và \( bc = -19 \).

Vì vậy, các giá trị \( a = -3, b = -1, c = -6 \) là nghiệm của bài toán!

Kết quả là:

\[
\boxed{a = -3, b = -1, c = -5}
\]