Để giải bài toán, ta sẽ thực hiện theo từng bước như sau:

**Ý 2: Tìm \( m \) nguyên sao cho hệ có nghiệm \((x, y)\) với \( x < 1\), \( y < 1\)**.

Hệ phương trình là:

\[
\begin{cases}
3x + 2y = 4 \quad (1) \\
2x - y = m \quad (2)
\end{cases}
\]

Từ phương trình (1), ta có thể biểu diễn \(y\) theo \(x\):

\[
2y = 4 - 3x \implies y = 2 - \frac{3}{2}x \quad (3)
\]

Thay \(y\) từ biểu thức (3) vào phương trình (2):

\[
2x - (2 - \frac{3}{2}x) = m
\]

Kết hợp và sắp xếp lại, ta được:

\[
2x - 2 + \frac{3}{2}x = m
\]
\[
\left(2 + \frac{3}{2}\right)x - 2 = m
\]
\[
\frac{7}{2}x - 2 = m \implies x = \frac{2 + m}{\frac{7}{2}} = \frac{4 + 2m}{7} \quad (4)
\]

Bây giờ, ta sẽ kết hợp với điều kiện \(x < 1\):

\[
\frac{4 + 2m}{7} < 1
\]
\[
4 + 2m < 7
\]
\[
2m < 3 \implies m < \frac{3}{2}
\]

Vì \(m\) là số nguyên, nên \(m\) có thể nhận giá trị \(m \leq 1\).

Tiếp theo, ta cũng cần tìm \(y\) từ biểu thức (3):

Thay giá trị \(x\) từ (4) vào (3):

\[
y = 2 - \frac{3}{2} \cdot \frac{4 + 2m}{7}
\]
\[
y = 2 - \frac{12 + 6m}{14} = 2 - \frac{6 + 3m}{7}
\]
\[
y = \frac{14 - 6 - 3m}{7} = \frac{8 - 3m}{7} \quad (5)
\]

Xét điều kiện \(y < 1\):

\[
\frac{8 - 3m}{7} < 1
\]
\[
8 - 3m < 7 \implies 1 < 3m \implies \frac{1}{3} < m
\]

Kết hợp hai điều kiện vừa tìm được:

\[
\frac{1}{3} < m < \frac{3}{2}
\]

Vì \(m\) là số nguyên, giá trị khả thi là \(m = 1\).

---

**Ý 3: Với giá trị nào của \(m\), thì ba đường thẳng \(3x + 2y = 4\), \(2x - y = m\), \(x + 2y = 3\) đồng quy?**

Để ba đường thẳng đồng quy, chúng ta phải tìm \(m\) sao cho định thức của ma trận hệ số bằng 0:

\[
\begin{vmatrix}
3 & 2 & 4 \\
2 & -1 & m \\
1 & 2 & 3
\end{vmatrix} = 0
\]

Tính định thức:

\[
= 3 \begin{vmatrix}
-1 & m \\
2 & 3
\end{vmatrix} - 2 \begin{vmatrix}
2 & m \\
1 & 3
\end{vmatrix} + 4 \begin{vmatrix}
2 & -1 \\
1 & 2
\end{vmatrix}
\]

Tính từng định thức con:

1. \(\begin{vmatrix}
-1 & m \\
2 & 3
\end{vmatrix} = -3 - 2m = -3 - 2m\)

2. \(\begin{vmatrix}
2 & m \\
1 & 3
\end{vmatrix} = 6 - m\)

3. \(\begin{vmatrix}
2 & -1 \\
1 & 2
\end{vmatrix} = 4 + 1 = 5\)

Thay vào định thức tổng:

\[
= 3(-3 - 2m) - 2(6 - m) + 4(5)
\]
\[
= -9 - 6m - 12 + 2m + 20 = -4m - 1
\]

Đặt định thức bằng 0:

\[
-4m - 1 = 0 \implies m = -\frac{1}{4}
\]

Tóm lại, kết quả cho ba đường thẳng đồng quy là \(m = -\frac{1}{4}\).