Giả sử người thứ nhất dệt được \( x \) m vải, người thứ hai dệt được \( y \) m vải. Ta có hai điều kiện sau:

1. Tổng số vải dệt được của hai người là 270 m:
\[
x + y = 270
\]

2. Nếu người thứ nhất dệt thêm 12 m và người thứ hai dệt thêm 8 m, thì người thứ nhất sẽ dệt nhiều hơn người thứ hai 10 m:
\[
(x + 12) = (y + 8) + 10
\]

Giải phương trình này:
\[
x + 12 = y + 18
\]
\[
x - y = 6 \quad (1)
\]

Bây giờ, ta có hệ phương trình:
\[
\begin{cases}
x + y = 270 \quad (2) \\
x - y = 6 \quad (1)
\end{cases}
\]

Ta có thể giải hệ phương trình này bằng cách cộng cả hai phương trình lại với nhau:
\[
(x + y) + (x - y) = 270 + 6
\]
\[
2x = 276
\]
\[
x = 138
\]

Sau đó, thay giá trị của \( x \) vào phương trình (2):
\[
138 + y = 270
\]
\[
y = 270 - 138
\]
\[
y = 132
\]

Vậy:
- Người thứ nhất đã dệt được 138 m vải.
- Người thứ hai đã dệt được 132 m vải.

**Kết luận:**
Người thứ nhất dệt được 138 m, người thứ hai dệt được 132 m.