Để phân tích thành nhân tử biểu thức \((x^2 + 4x + 8)^2 + 3x(x^2 + 4x + 8) + 2x^2\), chúng ta có thể đặt \(y = x^2 + 4x + 8\). Như vậy, biểu thức sẽ trở thành:

\[
y^2 + 3xy + 2x^2
\]

Tiếp theo, chúng ta sẽ phân tích biểu thức này như một đa thức bậc hai theo \(y\):

\[
y^2 + 3xy + 2x^2 = 0
\]

Để phân tích, chúng ta cần tìm hai số có tổng là \(3x\) và tích là \(2x^2\). Hai số đó là \(2x\) và \(x\). Do đó, ta có thể viết lại biểu thức:

\[
y^2 + 2xy + xy + 2x^2 = (y + 2x)(y + x)
\]

Bây giờ, thay lại giá trị của \(y\):

\[
(y + 2x)(y + x) = (x^2 + 4x + 8 + 2x)(x^2 + 4x + 8 + x)
\]

Giản lược biểu thức này, ta có:

\[
(x^2 + 6x + 8)(x^2 + 5x + 8)
\]

Vậy, phân tích thành nhân tử của biểu thức ban đầu là:

\[
(x^2 + 6x + 8)(x^2 + 5x + 8)
\]