Để tính biểu thức này, chúng ta thực hiện theo các bước cơ bản. Biểu thức cần tính là:

\[
(4 + \frac{3}{5}) \cdot 2 \frac{1}{7} - 4 - \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{9}
\]

**Bước 1: Chuyển đổi các số hỗn hợp thành số thực.**

- \( 4 + \frac{3}{5} = \frac{20}{5} + \frac{3}{5} = \frac{23}{5} \)
- \( 2 \frac{1}{7} = 2 + \frac{1}{7} = \frac{14}{7} + \frac{1}{7} = \frac{15}{7} \)

Biểu thức bây giờ trở thành:

\[
\frac{23}{5} \cdot \frac{15}{7} - 4 - \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{9}
\]

**Bước 2: Tính các phép nhân.**

- \(\frac{23}{5} \cdot \frac{15}{7} = \frac{23 \cdot 15}{5 \cdot 7} = \frac{345}{35} = \frac{69}{7}\)
- \(\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{9} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 9} = \frac{10}{27}\)

Biểu thức trở thành:

\[
\frac{69}{7} - 4 - \frac{10}{27}
\]

**Bước 3: Chuyển đổi 4 thành mẫu số chung.**

\[
4 = \frac{28}{7}
\]

Biểu thức trở thành:

\[
\frac{69}{7} - \frac{28}{7} - \frac{10}{27}
\]

**Bước 4: Thực hiện phép trừ.**

\(\frac{69}{7} - \frac{28}{7} = \frac{41}{7}\)

Bây giờ biểu thức có dạng:

\[
\frac{41}{7} - \frac{10}{27}
\]

**Bước 5: Tìm mẫu số chung.**

Mẫu số chung giữa 7 và 27 là 189.

Chuyển đổi từng phân số:

\[
\frac{41}{7} = \frac{41 \cdot 27}{7 \cdot 27} = \frac{1107}{189}
\]
\[
\frac{10}{27} = \frac{10 \cdot 7}{27 \cdot 7} = \frac{70}{189}
\]

**Bước 6: Thực hiện phép trừ.**

\[
\frac{1107}{189} - \frac{70}{189} = \frac{1107 - 70}{189} = \frac{1037}{189}
\]

Vậy kết quả cuối cùng là:

\[
\frac{1037}{189}
\]

Nếu cần chuyển đổi thành số thập phân:

\[
\frac{1037}{189} \approx 5.49
\]

Tóm lại, kết quả của biểu thức là \(\frac{1037}{189}\) hoặc xấp xỉ \(5.49\).