Cho hệ phương trình: mx + y = 3 và x + y   = 2m. Tìm m để nghiệm của phương trình thuộc số nguyên

Để tìm giá trị của \( m \) sao cho nghiệm của hệ phương trình

\[
\begin{cases}
mx + y = 3 \\
x + y = 2m
\end{cases}
\]

thuộc số nguyên, chúng ta sẽ giải hệ phương trình này.

Từ phương trình thứ hai, ta có thể biểu diễn \( y \) theo \( x \):

\[
y = 2m - x
\]

Thay giá trị \( y \) vào phương trình đầu tiên:

\[
mx + (2m - x) = 3
\]

Tối giản phương trình:

\[
mx + 2m - x = 3 \\
(m - 1)x + 2m = 3 \\
(m - 1)x = 3 - 2m
\]

Do đó, ta có:

\[
x = \frac{3 - 2m}{m - 1} \quad (m \neq 1)
\]

Thay giá trị \( x \) vào biểu thức của \( y \):

\[
y = 2m - \frac{3 - 2m}{m - 1}
\]

Tối giản phương trình:

\[
y = 2m - \left( \frac{3 - 2m}{m - 1} \right) = 2m - \frac{3 - 2m}{m - 1}
\]

Biến đổi để tìm \( y \):

\[
y = \frac{2m(m-1) - (3-2m)}{m-1} = \frac{2m^2 - 2m - 3 + 2m}{m-1} = \frac{2m^2 - 3}{m-1}
\]

Vậy ta có

\[
\begin{cases}
x = \frac{3 - 2m}{m - 1} \\
y = \frac{2m^2 - 3}{m - 1}
\end{cases}
\]

Để \( x \) và \( y \) là số nguyên, cả biểu thức \( x \) và \( y \) phải là số nguyên, dẫn đến yêu cầu sau:

1. \( 3 - 2m \) chia hết cho \( m - 1 \).
2. \( 2m^2 - 3 \) chia hết cho \( m - 1 \).

Chúng ta sẽ kiểm tra với \( m \).

### Phân tích với điều kiện chia hết
Điều kiện 1:

- \( 3 - 2m \equiv 0 \pmod{m-1} \Rightarrow 3 \equiv 2m \pmod{m-1} \)
- Gọi \( k = m-1 \), ta có \( m = k+1 \):
\[
3 \equiv 2(k+1) \pmod{k} \Rightarrow 3 \equiv 2 \pmod{k}
\]

Vậy,

\[
k \mid 1 \implies k = 1 \text{ hoặc } -1 \Rightarrow m = 2 \text{ hoặc } 0
\]

Kiểm tra với \( m = 0 \):

- Hệ phương trình:
\[
\begin{cases}
0 \cdot x + y = 3 \Rightarrow y = 3 \\
x + y = 0 \Rightarrow x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3
\end{cases}
\]
Cặp nghiệm \( (x, y) = (-3, 3) \) đúng.

Kiểm tra với \( m = 2 \):

- Hệ phương trình:
\[
\begin{cases}
2x + y = 3 \\
x + y = 4
\end{cases}
\]
Từ phương trình hai, \( y = 4 - x \) thay vào phương trình một:
\[
2x + (4 - x) = 3 \Rightarrow x + 4 = 3 \Rightarrow x = -1
\]
Thay vào tìm \( y \):
\[
y = 4 - (-1) = 5
\]
Cặp nghiệm \( (x, y) = (-1, 5) \) đúng.

Kết luận, giá trị \( m \) để nghiệm của phương trình thuộc số nguyên là:

\[
\boxed{0 \text{ và } 2}
\]