Cho: x - my = 3m và x + 2y = m - 1. Tìm m để nghiệm của phương trình thuộc số nguyên

Chúng ta có hai phương trình:

1. \( x - my = 3m \)
2. \( x + 2y = m - 1 \)

Chúng ta cần tìm \( m \) sao cho nghiệm của hệ phương trình này là số nguyên.

Đầu tiên, từ phương trình (1), chúng ta có thể biểu diễn \( x \) theo \( y \):

\[
x = my + 3m
\]

Thay giá trị của \( x \) vào phương trình (2):

\[
(my + 3m) + 2y = m - 1
\]

Giải phương trình này:

\[
my + 3m + 2y = m - 1
\]

Gom các hạng tử lại:

\[
(m + 2)y + 3m = m - 1
\]

Chuyển \( 3m \) sang vế phải:

\[
(m + 2)y = m - 1 - 3m
\]

\[
(m + 2)y = -2m - 1
\]

Từ đây, ta có:

\[
y = \frac{-2m - 1}{m + 2}
\]

Để \( y \) là một số nguyên, mẫu số \( m + 2 \) phải chia hết cho tử số \( -2m - 1 \). Ta kiểm tra điều kiện đó:

Xét điều kiện chia hết:

\[
-2m - 1 \equiv 0 \mod (m + 2)
\]

Chúng ta cũng cần đảm bảo rằng \( m + 2 \neq 0 \), tức là \( m \neq -2 \).

Sau đó, thay \( y \) vào phương trình (1) để tìm \( x \):

\[
x = my + 3m
\]

\[
x = m\left(\frac{-2m - 1}{m + 2}\right) + 3m
\]

\[
x = \frac{-2m^2 - m}{m + 2} + 3m
\]

\[
= \frac{-2m^2 - m + 3m(m + 2)}{m + 2}
\]

\[
= \frac{-2m^2 - m + 3m^2 + 6m}{m + 2}
\]

\[
= \frac{m^2 + 5m}{m + 2}
\]

Vì vậy, ta có nghiệm \( (x, y) \) trong hệ:

\[
x = \frac{m^2 + 5m}{m + 2}, \quad y = \frac{-2m - 1}{m + 2}
\]

Để đảm bảo cả hai \( x \) và \( y \) là số nguyên, ta cần điều kiện:

1. \( m + 2 \) phải chia hết cho \( -2m - 1 \)
2. Đồng thời \( m + 2 \) phải chia hết cho \( m^2 + 5m \).

Từ một số thử nghiệm với các giá trị nguyên cho \( m \):

- Thử \( m = 0 \):
- \( y = -\frac{1}{2} \) không nguyên.

- Thử \( m = 1 \):
- \( y = -1 \), \( x = 2 \) (nguyên).

- Thử \( m = 2 \):
- \( y = -\frac{5}{4} \) không nguyên.

- Thử \( m = -1 \):
- \( y = 1 \), \( x = -1 \) (nguyên).

- Thử \( m = -3 \):
- \( y = \frac{5}{-1} \) không nguyên.

- Thử \( m = -5 \):
- \( y = 0 \), \( x = 5 \) (nguyên).

Vì vậy, nghiệm nguyên của hệ phương trình có thể đạt được với một số giá trị như \( m = 1, -1, -5 \).

Tổng kết lại, \( m \) có thể là \( 1, -1, -5 \) để nghiệm của hệ phương trình là số nguyên.