Để chứng minh rằng biểu thức \( f(x) = 10x - x^2 - 26 \) luôn dương, ta sẽ phân tích biểu thức này hơn nữa.

Trước tiên, ta có thể viết lại biểu thức

\[
f(x) = -x^2 + 10x - 26
\]

Đây là một đa thức bậc 2 với hệ số của \( x^2 \) là âm (-1). Do đó, đồ thị của nó là một parabol hướng xuống, và nó sẽ có giá trị lớn nhất tại đỉnh của parabol.

Công thức tính hoành độ đỉnh của một parabol dạng \( ax^2 + bx + c \) là:

\[
x_0 = -\frac{b}{2a}
\]

Áp dụng vào trường hợp này, với \( a = -1 \) và \( b = 10 \):

\[
x_0 = -\frac{10}{2 \cdot (-1)} = 5
\]

Bây giờ ta sẽ tính giá trị của \( f(x) \) tại \( x = 5 \):

\[
f(5) = 10(5) - (5^2) - 26 = 50 - 25 - 26 = -1
\]

Như vậy, tại \( x = 5 \), \( f(5) = -1 \), có nghĩa là biểu thức \( f(x) \) không luôn dương.

Để tìm các giá trị mà \( f(x) = 0 \):

\[
10x - x^2 - 26 = 0
\]

Sắp xếp lại:

\[
-x^2 + 10x - 26 = 0
\]

Áp dụng công thức nghiệm bậc 2:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-10 \pm \sqrt{10^2 - 4(-1)(-26)}}{2(-1)} = \frac{-10 \pm \sqrt{100 - 104}}{-2} = \frac{-10 \pm \sqrt{-4}}{-2}
\]

Tính ra được:

\[
= \frac{-10 \pm 2i}{-2} = 5 \mp i
\]

Với \( i \) là đơn vị ảo, chứng tỏ rằng biểu thức \( f(x) = 10x - x^2 - 26 \) không có nghiệm thực, và vì parabol mở xuống, nghĩa là nó sẽ luôn nhận giá trị lớn hơn hoặc bằng một hằng số âm tại mọi giá trị x.

Vậy kết luận rằng \( f(x) \) có giá trị nhỏ nhất là -1 tại \( x = 5 \). Do đó biểu thức này không "luôn dương".

Biểu thức này không bao giờ dương và luôn nằm dưới trục hoành, thực tế là giá trị lớn nhất của nó tại \( x=5 \) là -1.