Để giải từng bài toán trong tam giác vuông ABC tại A, ta áp dụng các định lý và công thức liên quan đến lớp tam giác vuông.

### 1) \(BC = 20 \text{ cm}, B = 30^\circ\)

- **Cách giải**:
- Sử dụng định lý sin: \(\sin B = \frac{AC}{BC}\)
- \(\sin 30^\circ = \frac{1}{2} \) nên \(AC = BC \cdot \sin B = 20 \cdot \frac{1}{2} = 10 \text{ cm}\)
- Sử dụng định lý Pythagore để tìm \(AB\):
\[
AB = \sqrt{BC^2 - AC^2} = \sqrt{20^2 - 10^2} = \sqrt{400 - 100} = \sqrt{300} = 10\sqrt{3} \text{ cm} \approx 17.32 \text{ cm}
\]

### 2) \(BC = 18 \text{ cm}, B = 60^\circ\)

- **Cách giải**:
- \(\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\) nên \(AC = BC \cdot \sin B = 18 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3} \text{ cm}\)
- Tìm \(AB\):
\[
AB = \sqrt{BC^2 - AC^2} = \sqrt{18^2 - (9\sqrt{3})^2} = \sqrt{324 - 243} = \sqrt{81} = 9 \text{ cm}
\]

### 3) \(AB = 12 \text{ cm}, C = 30^\circ\)

- **Cách giải**:
- \(C = 30^\circ\) nên \(B = 60^\circ\)
- Áp dụng định lý sin: \(AC = AB \cdot \tan 30^\circ = 12 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3} \text{ cm}\)
- \(BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{12^2 + (4\sqrt{3})^2} = \sqrt{144 + 48} = \sqrt{192} = 8\sqrt{3} \text{ cm} \approx 13.86 \text{ cm}\)

### 4) \(AC = 20 \text{ cm}, B = 30^\circ\)

- **Cách giải**:
- Thực hiện tương tự như phần 1: \(BC = AC \cdot \frac{1}{\sin B} = 20 \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}} = 40 \text{ cm}\)
- Sử dụng định lý Pythagore để tìm \(AB\):
\[
AB = \sqrt{BC^2 - AC^2} = \sqrt{40^2 - 20^2} = \sqrt{1600 - 400} = \sqrt{1200} = 20\sqrt{3} \text{ cm} \approx 34.64 \text{ cm}
\]

### 5) \(AB = 4 \text{ cm}, C = 45^\circ\)

- **Cách giải**:
- \(B = 45^\circ\), vì vậy \(AB = AC\)
- \(BC = AB\sqrt{2} = 4\sqrt{2} \text{ cm} \approx 5.66 \text{ cm}\)

### 6) \(AB = 12 \text{ cm}, BC = 20 \text{ cm}\)

- **Cách giải**:
- Tính \(AC\):
\[
AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} = \sqrt{20^2 - 12^2} = \sqrt{400 - 144} = \sqrt{256} = 16 \text{ cm}
\]

### Tóm tắt kết quả:
1. \(AC = 10 \text{ cm}, AB = 10\sqrt{3} \text{ cm}\)
2. \(AC = 9\sqrt{3} \text{ cm}, AB = 9 \text{ cm}\)
3. \(AC = 4\sqrt{3} \text{ cm}, BC \approx 13.86 \text{ cm}\)
4. \(BC = 40 \text{ cm}, AB = 20\sqrt{3} \text{ cm}\)
5. \(BC \approx 5.66 \text{ cm}\)
6. \(AC = 16 \text{ cm}\)