Gọi số học sinh của trường là \( N \). Theo bài toán, khi xếp học sinh vào từng xe, nếu xếp mỗi xe 40 hoặc 45 học sinh thì đều thiếu 1 học sinh. Điều này có nghĩa là:

\[
N \equiv 1 \mod 40
\]
\[
N \equiv 1 \mod 45
\]

Từ hai điều kiện trên, ta có thể rút ra rằng \( N - 1 \) chia hết cho cả 40 và 45. Vậy \( N - 1 \) phải là bội số chung nhỏ nhất (BCNN) của 40 và 45.

Để tìm BCNN của hai số này, ta có thể sử dụng công thức:

\[
\text{BCNN}(a, b) = \frac{a \times b}{\text{GCD}(a, b)}
\]

Tìm ước số chung lớn nhất (GCD) của 40 và 45:

- Phân tích 40: \( 40 = 2^3 \times 5^1 \)
- Phân tích 45: \( 45 = 3^2 \times 5^1 \)

GCD(40, 45) là tích của những ước số chung với số mũ nhỏ nhất:

\[
\text{GCD}(40, 45) = 5
\]

Bây giờ, tính BCNN:

\[
\text{BCNN}(40, 45) = \frac{40 \times 45}{5} = 360
\]

Do đó, \( N - 1 = 360k \) với \( k \) là số nguyên dương. Vậy:

\[
N = 360k + 1
\]

Với giới hạn của \( N \) là từ 600 đến 750, ta có:

\[
600 \leq 360k + 1 \leq 750
\]

Giảm bớt 1 từ mọi phía của bất đẳng thức:

\[
599 \leq 360k \leq 749
\]

Chia nguyên cả ba dấu với 360:

\[
\frac{599}{360} \leq k \leq \frac{749}{360}
\]

Tính giá trị ước lượng:

\[
\frac{599}{360} \approx 1.663 \quad \text{và} \quad \frac{749}{360} \approx 2.080
\]

Điều này cho thấy \( k \) có thể nhận giá trị 2 (vì \( k \) phải là số nguyên).

Thay \( k = 2 \) vào công thức:

\[
N = 360 \times 2 + 1 = 720 + 1 = 721
\]

Kiểm tra điều kiện:

- Với \( N = 721 \):
- \( 721 \mod 40 = 1 \) (đúng)
- \( 721 \mod 45 = 1 \) (đúng)

Vậy số học sinh của trường là \( \boxed{721} \).